Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC), AB = AC = a, \(\widehat {BAC} = {120^0},SA = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}.\) Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Phương pháp giải

Từ một điểm O bất kì thuộc cạnh a của góc nhị diện [P, a, Q], vẽ các tia Ox, Oy tương ứng thuộc (P), (Q) và vuông góc với a. Góc xOy được gọi là một góc phẳng của góc nhị diện [P, a, Q].

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tam giác ABC có AB = AC => tam giác ABC cân tại A mà M là trung điểm BC

=> \(AM \bot BC\) (1)

\(\begin{array}{l}SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\ \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right);SM \subset \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot SM\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1), (2) ta có \(\widehat {SMA}\) là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Xét tam giác ABC cân tại A có

\(\widehat {BAC} = {120^0} \Rightarrow \widehat {ACB} = {30^0}\)

\(\sin \widehat {ACB} = \frac{{AM}}{{AC}} \Leftrightarrow \sin {30^0} = \frac{{AM}}{a} \Leftrightarrow AM = \frac{a}{{2 }}\)

\(\tan \widehat {SMA} = \frac{{SA}}{{AM}} = \frac{a}{{2\sqrt 3 }}:\frac{a}{{2 }} = \frac{\sqrt 3}{3} \Rightarrow \widehat {SMA} = 30^0\)