Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa mặt phẳng \((\alpha ):\sqrt 3 x - y + 2 = 0\) và các mặt phẳng toạ độ \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

Phương pháp giải

- Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\).

- Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa các vectơ pháp tuyến của chúng:

\(\cos \theta  = \frac{{{{\vec n}_1} \cdot {{\vec n}_2}}}{{|{{\vec n}_1}||{{\vec n}_2}|}}\)

 Trong đó, \({\vec n_1} \cdot {\vec n_2}\) là tích vô hướng, \(|{\vec n_1}|\) và \(|{\vec n_2}|\) là độ lớn của các vectơ.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Cho mặt phẳng \((\alpha )\): \(\sqrt 3 x - y + 2 = 0\).

Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \): \({\vec n_\alpha } = (\sqrt 3 , - 1,0)\).

Góc giữa mặt phẳng \((\alpha )\) và Oxy:

- Vectơ pháp tuyến của Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\).

Tích vô hướng:

\({\vec n_\alpha } \cdot {\vec n_{Oxy}} = \sqrt 3 .0 + ( - 1).0 + 0.1 = 0\)

Độ lớn:

\(|{\vec n_\alpha }| = \sqrt {3 + 1 + 0}  = 2,\quad |{\vec n_{Oxy}}| = \sqrt {0 + 0 + 1}  = 1\)

\(\cos \theta  = \frac{0}{{2 \times 1}} = 0\quad  \Rightarrow \theta  = {90^\circ }\)

Góc giữa mặt phẳng \((\alpha )\) và Oxz:

- Vectơ pháp tuyến của Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\).

Tích vô hướng:

\({\vec n_\alpha } \cdot {\vec n_{Oxz}} = \sqrt 3 .0 + ( - 1).1 + 0.0 =  - 1\)

Độ lớn:

\(|{\vec n_{Oxz}}| = \sqrt {0 + 1 + 0}  = 1\)

\(\cos \theta  = \frac{{ - 1}}{{2 \times 1}} =  - \frac{1}{2}\quad  \Rightarrow \theta  = {120^\circ }\)

Góc giữa mặt phẳng \((\alpha )\) và Oyz:

- Vectơ pháp tuyến của Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\). Tích vô hướng:

\({\vec n_\alpha } \cdot {\vec n_{Oyz}} = \sqrt 3 .1 + ( - 1).0 + 0.0 = \sqrt 3 \)

Độ lớn:

\(|{\vec n_{Oyz}}| = \sqrt {1 + 0 + 0}  = 1\)

\(\cos \theta  = \frac{{\sqrt 3 }}{{2 \times 1}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\quad  \Rightarrow \theta  = {30^\circ }\)