Đề bài

Để chuẩn bị cho chuyến đi dã ngoại, nhóm bạn Đức thiết kế lều cắm trại dạng hình chóp từ giác đều có đáy là hình vuông cạnh 4m. Theo bản vẽ thiết kế thì góc giữa hai mặt bên của lều bằng 60°. Bằng phương pháp tọa độ, hãy tính chiều cao của lều này.

Phương pháp giải

- Xây dựng hệ tọa độ và xác định tọa độ các điểm

- Xác định vector pháp tuyến của các mặt bên

- Sử dụng công thức tính góc giữa hai mặt phẳng qua vector pháp tuyến

- Giải phương trình để tìm chiều cao

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi h là chiều cao cần tìm của hình chóp S.ABCD.

Do mặt đáy là hình vuông cạnh 4m nên \(OA = OB = OC = OD = 2\sqrt 2 \)

Toạ độ các điểm là \(A(2\sqrt 2 ;0;0)\), \(B(0;2\sqrt 2 ;0)\), \(C( - 2\sqrt 2 ;0;0)\), \(D(0; - 2\sqrt 2 ;0)\) và \(S(0;0;h)\).

Vectơ chỉ phương của mặt phẳng SAB là \(\overrightarrow {AB}  = ( - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;0)\) và \(\overrightarrow {SA}  = (2\sqrt 2 ;0; - h)\)

Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng SAB là

\(\overrightarrow {{n_{SAB}}}  = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {SA}  = (2\sqrt 2 .( - h) - 0.0;\,\,\,0.2\sqrt 2  - ( - 2\sqrt 2 ).( - h);\,\,\,( - 2\sqrt 2 ).0 - 2\sqrt 2 .2\sqrt 2  = ( - 2\sqrt 2 .h; - 2\sqrt 2 .h; - 8)\)

Vectơ chỉ phương của mặt phẳng SCD là \(\overrightarrow {DC}  = ( - 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ;0)\) và \(\overrightarrow {SC}  = ( - 2\sqrt 2 ;0; - h)\)

Suy ra vectơ pháp tuyến của mặt phẳng SCD là

\(\overrightarrow {{n_{SCD}}}  = \overrightarrow {DC} .\overrightarrow {SC}  = (2\sqrt 2 .( - h) - 0.0;\,\,\,0.( - 2\sqrt 2 ) - ( - 2\sqrt 2 ).( - h);\,\,\,( - 2\sqrt 2 ).0 - 2\sqrt 2 .( - 2\sqrt 2 )) = ( - 2\sqrt 2 .h; - 2\sqrt 2 .h;8)\)

Ta có:

\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} .\overrightarrow {{n_{SCD}}}  = 8{h^2} + 8{h^2} - 64 = 16{h^2} - 64 = 16({h^2} - 4)\)

\(\left| {\overrightarrow {{n_{SAB}}} } \right| = \sqrt {8{h^2} + 8{h^2} + 64}  = \sqrt {16{h^2} + 64}  = 4\sqrt {{h^2} + 4} \)

\(\left| {\overrightarrow {{n_{SCD}}} } \right| = \sqrt {8{h^2} + 8{h^2} + 64}  = \sqrt {16{h^2} + 64}  = 4\sqrt {{h^2} + 4} \)

Góc giữa hai mặt phẳng SAB và SCD bằng 60° nên suy ra:

\(\cos 60^\circ  = \frac{{16({h^2} - 4)}}{{4\sqrt {{h^2} + 4} .4\sqrt {{h^2} + 4} }} = \frac{{16({h^2} - 4)}}{{16({h^2} + 4)}} = \frac{{{h^2} - 4}}{{{h^2} + 4}} = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow 2{h^2} - 8 = {h^2} + 4\)

\( \Leftrightarrow {h^2} = 12\)

\( \Leftrightarrow h = \sqrt {12}  = 2\sqrt 3 \)

Vậy chiều cao của lều là \(2\sqrt 3 \)m.

Mở rộng

Các lý thuyết cụ thể được sử dụng bao gồm:

1. Phương trình mặt phẳng: Một mặt phẳng trong không gian có thể được xác định bằng một điểm thuộc nó và một vectơ pháp tuyến (vectơ vuông góc với mặt phẳng đó). Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó $\overrightarrow n = (A; B; C)$ là vectơ pháp tuyến.

2. Vectơ chỉ phương và Vectơ pháp tuyến:

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng là vectơ cùng phương với đường thẳng đó.

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là vectơ vuông góc với mặt phẳng đó. Tích có hướng của hai vectơ chỉ phương không cùng phương nằm trong một mặt phẳng sẽ cho một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.

3. Góc giữa hai mặt phẳng:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó. Nếu $\overrightarrow {{n_1}} $ và $\overrightarrow {{n_2}} $ là hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng, thì côsin của góc $\theta$ giữa chúng được tính bằng công thức: $\cos \theta = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}$. Ở đây, $\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} $ là tích vô hướng của hai vectơ, và $\left| {\overrightarrow n } \right|$ là độ dài của vectơ. Góc giữa hai mặt phẳng được lấy là góc nhọn, nên ta sử dụng giá trị tuyệt đối của tích vô hướng.