Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa đường thẳng \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x =  - 3 + 2t\;\\y = 1 + t\quad (t \in \mathbb{R})\;\\z = 2 + t\end{array}\end{array}} \right.\) và các mặt phẳng tọa độ: \((Oxy)\), \((Oxz)\), \((Oyz)\).

Phương pháp giải

- Xác định vectơ chỉ phương \({\vec v_d} = (x',y',z')\) từ phương trình tham số của đường thẳng.

- Tùy vào mặt phẳng nào (Oxy, Oxz, Oyz), tìm vectơ pháp tuyến tương ứng của nó.

- Sử dụng công thức góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

\(\sin \theta  = \frac{{|{{\vec v}_d} \cdot \vec n|}}{{|{{\vec v}_d}||\vec n|}}\)

với \({\vec v_d}\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng, và \(\vec n\) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \({\vec v_d} = (2,1,1)\).

Vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng:

- Oxy: \({\vec n_{Oxy}} = (0,0,1)\)

- Oxz: \({\vec n_{Oxz}} = (0,1,0)\)

- Oyz: \({\vec n_{Oyz}} = (1,0,0)\)

Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và các mặt phẳng:

- Với mặt phẳng Oxy:

\(\sin \theta  = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,0,1)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6  \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oxz:

\(\sin \theta  = \frac{{|(2,1,1) \cdot (0,1,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2} + {0^2}} }} = \frac{{|1|}}{{\sqrt 6  \cdot 1}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).

- Với mặt phẳng Oyz:

\(\sin \theta  = \frac{{|(2,1,1) \cdot (1,0,0)|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {0^2} + {0^2}} }} = \frac{{|2|}}{{\sqrt 6  \cdot 1}} = \frac{2}{{\sqrt 6 }}\)

Do đó, góc \({\theta _{Oxy}} = \arcsin \left( {\frac{1}{{\sqrt 6 }}} \right)\).