Đề bài

Cho hai vectơ ngược hướng \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) và \(\vec a'\) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d'\)(Hình 5.26). Cho biết \((d,d') = {45^{^\circ }}\). Hãy tính số đo của hai góc: \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \((\vec b,\vec a')\). Từ đó chỉ ra mối quan hệ giữa hai góc \((d,d')\) và \((\vec a,\vec a')\), giữa \(\cos (d,d')\) và \(\cos (\vec a,\vec a')\).

Phương pháp giải

Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ để tính góc giữa chúng:

\(\cos \theta  = \frac{{\vec u \cdot \vec v}}{{|\vec u||\vec v|}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

- Góc giữa \(\vec a\) và \(\vec a'\):

Ta sử dụng công thức cosin cho góc giữa hai vectơ:

\(\cos (\vec a,\vec a') = \frac{{\vec a \cdot \vec a'}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec a'} \right|}} = \frac{{{a_1}{{a'}_1} + {a_2}{{a'}_2} + {a_3}{{a'}_3}}}{{\sqrt {(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)({a_1}{'^2} + {a_2}{'^2} + {a_3}{'^2})} }}\)

Biết rằng \((d,d') = {45^\circ }\) và Vì \(\overrightarrow a \) là vector chỉ phương của d và \(\overrightarrow {a'} \) là vector chỉ phương của d' nên góc giữa hai vector bằng góc giữa hai đường thẳng. Suy ra góc giữa \(\vec a\) và \(\vec a'\) là \({45^\circ }\).

- Góc giữa \(\vec b\) và \(\vec a'\):

Vì \(\vec b =  - \vec a\), ta có:

\(\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right) = \cos \left( { - \vec a,\vec a'} \right) =  - \cos \left( {\vec a,\vec a'} \right) =  - \cos 45^\circ \)

Suy ra:

\(\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right) =  - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)

Do đó, góc giữa \(\vec b\) và \(\vec a'\) là \({135^\circ }\).

- Mối quan hệ giữa hai góc:

Góc giữa hai đường thẳng \((d,d')\) và góc giữa hai vectơ chỉ phương \(\vec a\) và \(\vec a'\) bằng nhau, tức là: \((d,d') = \left( {\vec a,\vec a'} \right) = {45^\circ }\)

- Tương tự, mối quan hệ giữa \(\cos (d,d')\) và \(\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)\) là: \(\cos (d,d') = \cos \left( {\vec a,\vec a'} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)