Đề bài

Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng d và d' trong các trường hợp sau:

a) \(d:\frac{x}{3} = \frac{y}{4} = \frac{z}{5}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{4} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{2}\)

b) \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{{ - 4}} = \frac{z}{5}\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x = 2 - t\;\\y = 3 + 2t\;\\z = 2t\end{array}\end{array}} \right.\) \((t \in \mathbb{R})\)

Phương pháp giải

Xác định vector chỉ phương của mỗi đường thẳng.

Sử dụng công thức cosin góc giữa hai vector: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a||\vec b|}}\).

Tính góc từ giá trị cosin.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Vector chỉ phương:

\(d:\overrightarrow {{a_1}}  = (3,4,5)\)

\(d':\overrightarrow {{a_2}}  = (4,2,2)\)

Áp dụng công thức:

\(\cos (\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ) = \frac{{3 \cdot 4 + 4 \cdot 2 + 5 \cdot 2}}{{\sqrt {({3^2} + {4^2} + {5^2})({4^2} + {2^2} + {2^2})} }}\)

\( = \frac{{12 + 8 + 10}}{{\sqrt {(9 + 16 + 25)(16 + 4 + 4)} }}\)

\( = \frac{{30}}{{\sqrt {50 \cdot 24} }}\)

\( = \frac{3}{{\sqrt 2 }}\)

Suy ra góc \(\phi  = 30^\circ \)

b)

Vector chỉ phương:

\(d:\overrightarrow {{a_1}}  = (2, - 4,5)\)

\(d':\overrightarrow {{a_2}}  = ( - 1,2,2)\)

Áp dụng công thức:

\(\cos (\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ) = \frac{{2 \cdot ( - 1) + ( - 4) \cdot 2 + 5 \cdot 2}}{{\sqrt {({2^2} + {{( - 4)}^2} + {5^2})({{( - 1)}^2} + {2^2} + {2^2})} }}\)

\( = \frac{{ - 2 - 8 + 10}}{{\sqrt {(4 + 16 + 25)(1 + 4 + 4)} }}\)

\( = \frac{0}{{\sqrt {45 \cdot 9} }}\)

\( = 0\)

Do \(\cos (\phi ) = 0\), nên \(\phi  = 90^\circ \)