Đề bài

Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - t}\\{y = 4 + t}\\{z = 5 - 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\) và \(d':\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 3t'}\\{y = 5 + 3t'}\\{z = 3 - 6t'}\end{array}} \right.\quad (t' \in \mathbb{R}){\rm{ }}\)

 b) \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\)

c) \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + 2t}\\{y = 2 + t}\\{z =  - 3 + 3t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R}){\rm{ }}\) và \(d':\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 1}}{3}{\rm{ }}\)

Phương pháp giải

- Hai đường thẳng song song: Nếu chúng có vectơ chỉ phương cùng phương và không có điểm chung.

- Hai đường thẳng cắt nhau: Nếu chúng không cùng phương và có duy nhất một điểm chung.

- Hai đường thẳng chéo nhau: Nếu chúng không nằm trong cùng một mặt phẳng và không có điểm chung.

- Hai đường thẳng trùng nhau: Nếu chúng cùng phương và có vô số điểm chung.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}}  = ( - 1;1; - 2)\)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = ( - 3;3; - 6)\)

Nhận thấy: \(\overrightarrow {{u_d}}  = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) với \(k = \frac{1}{3}\)

Vậy hai đường thẳng song song.

b)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): \(\overrightarrow {{u_d}}  = (1;3; - 1)\)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng\(d'\): \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = ( - 2;1;3)\)

Nhận thấy không tồn tại giá trị k để \(\overrightarrow {{u_d}}  = k\overrightarrow {{u_{d'}}} \) và \(\overrightarrow {{u_d}} .\overrightarrow {{u_{d'}}}  = 1.( - 2) + 3.1 + ( - 1).3 =  - 2 \ne 0\) nên hai đường thẳng không song song cũng không vuông góc.

Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta giải hệ phương trình tham số từ hai đường thẳng.

Phương trình tham số của \(d\):

\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{3} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 + t}\\{y = 2 + 3t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad \quad t \in \mathbb{R}\)

 Phương trình tham số của \(d'\)

\(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{3}\quad {\rm{hay}}\quad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 2t'}\\{y =  - 2 + t'}\\{z = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\quad \quad t' \in \mathbb{R}\)

 Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + t = 2 - 2t'}\\{2 + 3t =  - 2 + t'}\\{3 - t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất:

\(t = 1 - 2t'\)

 Thay vào phương trình thứ hai:

\(2 + 3(1 - 2t') =  - 2 + t'\quad  \Rightarrow \quad 5 - 6t' =  - 2 + t'\quad  \Rightarrow \quad 7 = 7t'\quad  \Rightarrow \quad t' = 1\)

Thay \(t' = 1\) vào \(t = 1 - 2t'\), ta có \(t =  - 1\). Thay \(t =  - 1\) và \(t' = 1\) vào phương trình thứ ba:

\(3 - ( - 1) = 1 + 3(1)\quad  \Rightarrow \quad 4 = 4\)

Điều này đúng.

Hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) cắt nhau tại điểm \((x,y,z) = (0, - 1,4)\).

c)

- Vectơ chỉ phương của \(d\) là \(\overrightarrow {{u_d}}  = (2,1,3)\).

- Vectơ chỉ phương của \(d'\) là \(\overrightarrow {{u_{d'}}}  = (1,2,3)\).

\(\frac{2}{1} \ne \frac{1}{2} \ne \frac{3}{3}\)

Do đó, \(d\) và \(d'\) không song song.

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 2t = 2 + t'}\\{2 + t =  - 3 + 2t'}\\{ - 3 + 3t = 1 + 3t'}\end{array}} \right.\)

Từ phương trình thứ nhất: \(t' = 2t - 1\). Thay vào phương trình thứ hai: \(t = \frac{7}{3}\), \(t' = \frac{{11}}{3}\). Thay vào phương trình thứ ba: Điều này sai

Vậy hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) chéo nhau.