Đề bài

Trong không gian Oxyz cho trước (1 đơn vị = 1 cm), có một chú kiến vàng và một chú kiến đen bò trên hai sợi dây thẳng khác nhau. Giả sử tại thời điểm \(t\) (tính bằng phút), kiến vàng ở vị trí \((6 + t;8 - t;3 + t)\) trên đường thẳng \({d_1}\). Cùng thời điểm đó, kiến đen ở vị trí

\((1 + t;2 + t;2t)\) trên đường thẳng \({d_2}\).

a) Chứng minh rằng hai chú kiến bò trên hai đường thẳng chéo nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai chú kiến tại các thời điểm \(t = 0\) và \(t = 10\).

c) Hỏi tại thời điểm nào thì khoảng cách giữa hai chú kiến là nhỏ nhất? Tính khoảng cách đó.

Phương pháp giải

a)

- Kiểm tra xem hai đường thẳng có song song không bằng cách so sánh vectơ chỉ phương.

- Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không bằng cách giải hệ phương trình.

b)

Tại mỗi thời điểm t, tính tọa độ hai điểm trên hai đường thẳng tương ứng.

Sử dụng công thức khoảng cách giữa hai điểm trong không gian 3 chiều:

\(d = \sqrt {{{({x_2} - {x_1})}^2} + {{({y_2} - {y_1})}^2} + {{({z_2} - {z_1})}^2}} \)

để tính khoảng cách giữa hai điểm tại các thời điểm yêu cầu.

c)

- Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm dưới dạng hàm theo t.

- Sử dụng phương pháp tìm cực trị của hàm số (tính đạo hàm và giải phương trình đạo hàm bằng 0) để tìm giá trị t tại đó khoảng cách là nhỏ nhất.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_1}\) là: \(\overrightarrow {{u_1}}  = (1, - 1,1)\).

- Vectơ chỉ phương của đường thẳng \({d_2}\) là: \(\overrightarrow {{u_2}}  = (1,1,2)\).

Ta thấy hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} \) và \(\overrightarrow {{u_2}} \) không song song với nhau vì không có tỉ lệ giữa các tọa độ của hai vectơ. Vậy hai đường thẳng không song song.

Để kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau không, ta viết phương trình vị trí của hai điểm trên đường thẳng:

- Với \({d_1}\), điểm có tọa độ: \({M_1}(6 + t,8 - t,3 + t)\).

- Với \({d_2}\), điểm có tọa độ: \({M_2}(1 + t,2 + t,2t)\).

Giải hệ phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{6 + t = 1 + t}\\{8 - t = 2 + t}\\{3 + t = 2t}\end{array}} \right.\)

Hệ phương trình này không có nghiệm. Do đó, hai đường thẳng không cắt nhau nên hai đường thẳng chéo nhau.

b)

Tại \(t = 0\), tọa độ của hai chú kiến là:

- Kiến vàng: \({M_1}(6,8,3)\).

- Kiến đen: \({M_2}(1,2,0)\).

Khoảng cách giữa hai chú kiến:

\(d = \sqrt {{{(1 - 6)}^2} + {{(2 - 8)}^2} + {{(0 - 3)}^2}}  = \sqrt {25 + 36 + 9}  = \sqrt {70}  \approx 8.37{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)

Tại \(t = 10\), tọa độ của hai chú kiến là:

- Kiến vàng: \({M_1}(16, - 2,13)\).

- Kiến đen: \({M_2}(11,12,20)\).

Khoảng cách giữa hai chú kiến:

\(d = \sqrt {{{(11 - 16)}^2} + {{(12 + 2)}^2} + {{(20 - 13)}^2}}  = \sqrt {25 + 196 + 49}  = \sqrt {270}  \approx 16.43{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)

c)

Khoảng cách giữa hai chú kiến là hàm số:

\(d(t) = \sqrt {{{(1 + t - (6 + t))}^2} + {{(2 + t - (8 - t))}^2} + {{(2t - (3 + t))}^2}} .\)

 Rút gọn biểu thức:

\(d(t) = \sqrt {{{( - 5)}^2} + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}}  = \sqrt {25 + {{( - 6 + 2t)}^2} + {{(t - 3)}^2}} .\)

\(d(t) = \sqrt {25 + (4{t^2} - 24t + 36) + ({t^2} - 6t + 9)}  = \sqrt {5{t^2} - 30t + 70} .\)

 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(d(t)\) bằng cách tính đạo hàm:

\(d'(t) = \frac{1}{{2\sqrt {5{t^2} - 30t + 70} }}(10t - 30) = 0.\)

 Giải phương trình: \(10t - 30 = 0\) cho \(t = 3\). Thay \(t = 3\) vào biểu thức khoảng cách:

\(d(3) = \sqrt {5{{(3)}^2} - 30(3) + 70}  = \sqrt {45 - 90 + 70}  = \sqrt {25}  = 5{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)

Vậy khoảng cách nhỏ nhất giữa hai chú kiến là 5 cm tại thời điểm \(t = 3\).