Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) qua điểm \({M_0}({x_0};{y_0};{z_0})\), có vectơ chỉ phương \(\vec a = ({a_1};{a_2};{a_3})\). Giả sử \(M(x;y;z)\) là một điểm bất kỳ trên \(d\)(Hình 5.18). Ta biết \(\overrightarrow {{M_0}M} \) cùng phương với \(\vec a\) nên tồn tại số thực \(t\) sao cho \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\).

a) Hãy tính tọa độ điểm \(M\) theo \({x_0},{y_0},{z_0},{a_1},{a_2},{a_3},t\).

b) Bạn An cho rằng điều kiện cần và đủ để \(M(x;y;z) \in d\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)

 Bạn An phát biểu đúng hay không? Vì sao?

Phương pháp giải

Do \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\), ta có:

\(\overrightarrow {{M_0}M}  = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)

Từ đó dẫn đến hệ phương trình:

\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Do \(\overrightarrow {{M_0}M}  = t\vec a\), ta có:

\(\overrightarrow {{M_0}M}  = (x - {x_0},y - {y_0},z - {z_0}) = t({a_1},{a_2},{a_3})\)

Dẫn đến hệ phương trình:

\(x = {x_0} + t{a_1},\,\,y = {y_0} + t{a_2},\,\,z = {z_0} + t{a_3}\)

Vậy tọa độ của điểm \(M\) là:

\(M({x_0} + t{a_1},{y_0} + t{a_2},{z_0} + t{a_3})\)

b)

Vì d và \({M_0}M\) đều cùng song song với giá của vectơ \(\overrightarrow a \) nên d và \({M_0}M\) song song hoặc trùng nhau.

Mặt khác \({M_0} \in d\) suy ra \(M \in d\).

Vậy phát biểu của bạn An là đúng. Điều kiện để \(M(x,y,z) \in d\) là tồn tại t sao cho hệ phương trình tham số:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + t{a_1}}\\{y = {y_0} + t{a_2}}\\{z = {z_0} + t{a_3}}\end{array}} \right.\)

được thoả mãn.