Đề bài

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) đi qua \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\).

a) Viết phương trình tham số của \(d\).

b) Tìm điểm \(M\) thuộc \(d\) biết \(OM = 7\).

Phương pháp giải

a) Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\)

Với \({M_0} = A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), thay vào ta được phương trình tham số của \(d\).

b) Tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) từ phương trình tham số của \(d\). Dùng điều kiện \(OM = 7\), tức là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\), ta có:

\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}  = 7\)

Thay các tọa độ của \(M(x(t),y(t),z(t))\) từ phương trình tham số vào, rồi giải phương trình để tìm \(t\), từ đó suy ra tọa độ của \(M\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A(6; - 2;3)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec a = (2;2; - 1)\). Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) có dạng:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_0} + {a_1}t}\\{y = {y_0} + {a_2}t}\\{z = {z_0} + {a_3}t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)

Với \(A(6; - 2;3)\) và \(\vec a = (2;2; - 1)\), phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 2t}\\{y =  - 2 + 2t}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)

b)

Điểm \(M\) có tọa độ \((x,y,z)\) thuộc đường thẳng \(d\), nên tọa độ của \(M\) được biểu diễn theo tham số \(t\) như sau:

\(M(6 + 2t, - 2 + 2t,3 - t)\)

Điều kiện \(OM = 7\) nghĩa là khoảng cách từ gốc tọa độ \(O(0;0;0)\) đến \(M\) bằng 7:

\(OM = \sqrt {{x^2} + {y^2} + {z^2}}  = 7\)

Thay tọa độ của \(M\) vào phương trình khoảng cách:

\(OM = \sqrt {{{(6 + 2t)}^2} + {{( - 2 + 2t)}^2} + {{(3 - t)}^2}}  = 7\)

Bình phương hai vế:

\({(6 + 2t)^2} + {( - 2 + 2t)^2} + {(3 - t)^2} = 49\)

\({(6 + 2t)^2} = 36 + 24t + 4{t^2}\)

\({( - 2 + 2t)^2} = 4 - 8t + 4{t^2}\)

\({(3 - t)^2} = 9 - 6t + {t^2}\)

\((36 + 24t + 4{t^2}) + (4 - 8t + 4{t^2}) + (9 - 6t + {t^2}) = 49\)

\(49 + 10t + 9{t^2} = 49\)

\(10t + 9{t^2} = 0\)

\(t(9t + 10) = 0\)

Do đó, ta có hai nghiệm: \(t = 0\) và \(t =  - \frac{{10}}{9}\)

Với \(t = 0\), tọa độ của \(M\) là:

\(M(6 + 2 \cdot 0, - 2 + 2 \cdot 0,3 - 0) = M(6, - 2,3)\)

Với \(t =  - \frac{{10}}{9}\), tọa độ của \(M\) là:

\(M\left( {6 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right), - 2 + 2 \cdot \left( { - \frac{{10}}{9}} \right),3 - \left( { - \frac{{10}}{9}} \right)} \right)\)

\(M\left( {6 - \frac{{20}}{9}, - 2 - \frac{{20}}{9},3 + \frac{{10}}{9}} \right) = M\left( {\frac{{54}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{ - 18}}{9} - \frac{{20}}{9},\frac{{27}}{9} + \frac{{10}}{9}} \right)\)

\(M\left( {\frac{{34}}{9},\frac{{ - 38}}{9},\frac{{37}}{9}} \right)\)