Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d\) qua hai điểm phân biệt \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và \(B({x_B};{y_B};{z_B})\).

a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không? Vì sao?

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\).

c) Giả sử \({x_B} \ne {x_A},{y_B} \ne {y_A}\) và \({z_B} \ne {z_A}\), hãy viết phương trình chính tắc của \(d\).

Phương pháp giải

a) Tìm vectơ \(\overrightarrow {AB} \), sau đó xác định xem vectơ này có phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

b) Sử dụng tọa độ của điểm \(A\) hoặc \(B\) và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) để viết phương trình tham số của đường thẳng.

c) Sử dụng tỉ số giữa các tọa độ và vectơ chỉ phương để viết phương trình chính tắc của đường thẳng d.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\):

Vectơ \(\overrightarrow {AB} \) được xác định bởi:

\(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\)

Hai điểm A, B đều thuộc đường thẳng d nên vectơ \(\overrightarrow {AB} \) cũng nằm trên đường thẳng d. Suy ra \(\overrightarrow {AB} \) là vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).

b) Viết phương trình tham số của đường thẳng \(d\):

Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) đi qua \(A({x_A};{y_A};{z_A})\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB}  = ({x_B} - {x_A},{y_B} - {y_A},{z_B} - {z_A})\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = {x_A} + ({x_B} - {x_A})t}\\{y = {y_A} + ({y_B} - {y_A})t}\\{z = {z_A} + ({z_B} - {z_A})t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)

c) Viết phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\):

Giả sử \({x_A} \ne {x_B},{y_A} \ne {y_B},{z_A} \ne {z_B}\), phương trình chính tắc của đường thẳng \(d\) là:

\(\frac{{x - {x_A}}}{{{x_B} - {x_A}}} = \frac{{y - {y_A}}}{{{y_B} - {y_A}}} = \frac{{z - {z_A}}}{{{z_B} - {z_A}}}\)