Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho tam giác OAB với \(A(2; - 3;4)\), \(B( - 4;5;0)\). Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc (nếu có) của đường thẳng AB và đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ O của tam giác OAB.

Phương pháp giải

- Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB, chính là vectơ \(\overrightarrow {AB} \). Viết phương trình tham số của đường thẳng AB dựa trên điểm A hoặc B và vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \). Từ phương trình tham số, lập phương trình chính tắc của đường thẳng AB.

- Xác định trung điểm M của đoạn thẳng AB. Viết phương trình đường thẳng đi qua O và M dựa trên tọa độ hai điểm này.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng AB:

\(\overrightarrow {AB}  = B - A = ( - 4 - 2;5 + 3;0 - 4) = ( - 6;8; - 4)\)

Phương trình tham số của đường thẳng AB đi qua điểm \(A(2; - 3;4)\) và có vectơ chỉ phương \(( - 6;8; - 4)\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2 - 6t}\\{y =  - 3 + 8t}\\{z = 4 - 4t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng AB là:

\(\frac{{x - 2}}{{ - 6}} = \frac{{y + 3}}{8} = \frac{{z - 4}}{{ - 4}}\)

Trung điểm M của đoạn AB có tọa độ:

\(M = \left( {\frac{{2 + ( - 4)}}{2};\frac{{ - 3 + 5}}{2};\frac{{4 + 0}}{2}} \right) = ( - 1;1;2)\)

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \(O(0;0;0)\) và \(M( - 1;1;2)\) là:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - t}\\{y = t}\\{z = 2t}\end{array}} \right.\quad (t \in \mathbb{R})\)

Phương trình chính tắc của đường thẳng là:

\(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{2}\)