Đề bài

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC), vẽ đường cao AH. Đường trung trực của BC cắt AC tại M, cắt BC tại N.

a) Chứng minh rằng \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)

b) Kẻ \(MI \bot AH\)(I ∈ AH), gọi K là giao điểm của AH và BM. Chứng minh rằng I là trung điểm của AK.

Phương pháp giải

a) Ta xét tam giác BMC cân tại M nên \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\)

Nên \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {MBC} = {90^o} - \widehat {MBC}\)

b) Ta chứng minh I là trung điểm của AK do \(\Delta MAI = \Delta MKI\)(g-c-g) 

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tam giác BMC cân tại M (Do M thuộc đường trung trực của BC nên MB = MC) có : \(\widehat {MBC} = \widehat {MCB}\) (góc tương ứng)

Mà \(\widehat {BMN} = {90^o} - \widehat {MBC}\) và \(\widehat {HAC} = {90^o} - \widehat {BCM}\)

suy ra \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)

b) Ta có MN⫽AH (do cùng vuông góc với BC)

nên \(\widehat {AKM} = \widehat {KMN}\) (2 góc so le trong)

Mà \(\widehat {BMN} = \widehat {HAC}\)( chứng minh a)

suy ra \(\widehat {KAM} = \widehat {AKM}\) (do cùng =\(\widehat {BMN}\))

Xét \(\Delta MIA\) và \(\Delta MIK\) có :

IM cạnh chung

\(\widehat {KAM} = \widehat {AKM}\)

\(\widehat {AIM} = \widehat {MIK} = {90^o}\)

nên \(\Delta MIA = \Delta MIK\) (cạnh góc vuông-góc nhọn)

suy ra AI = IK (cạnh tương ứng)

Do đó I là trung điểm AK