Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A ($\widehat A < {90^o}$). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.

a) Chứng minh rẳng $\Delta BFC = \Delta CEB$

b) Chứng minh rằng $\Delta AEH = \Delta AFH$

c) Gọi I là trung điểm BC. Chứng minh rằng ba điểm A,H,I thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Ta sử dụng định lí cạnh huyền – góc nhọn trong tam giác vuông

b) Từ câu a ta chứng minh 2 tam giác AHF = tam giác AHE nhờ những cạnh của 2 tam giác chứng minh được bằng nhau từ câu trên

c) Ta chứng minh AI và AH cùng là phân giác của góc A

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét $\Delta BFC$ và $\Delta CEB$ có:

BC là cạnh chung

$\widehat B = \widehat C$($\Delta ABC$ cân tại A)

$\widehat {BEC} = \widehat {CFB} = {90^o}$

$\Rightarrow \Delta BFC = \Delta CEB$(cạnh huyền – góc nhọn )

b) Vì $\Delta BFC = \Delta CEB \Rightarrow$ BF = EC (2 cạnh tương ứng)

Mà AB = AC ($\Delta ABC$ cân tại A)

$\Rightarrow$ AF = AE (AB – BF = AC – EC )

Xét $\Delta AEH$ và $\Delta AFH$ta có :

AF = AE (chứng minh trên)

AH cạnh chung

$\widehat {HFA} = \widehat {HEA} = {90^o}$

$\Rightarrow \Delta AEH = \Delta AFH$(cạnh huyền - cạnh góc vuông)

c) Vì CF, BE là những đường cao của tam giác ABC và H là giao điểm của chúng

$\Rightarrow$ H là trực tâm của tam giác ABC

$\Rightarrow$ AH vuông góc với BC (1)

Xét $\Delta AIC$ và $\Delta AIB$ có :

IB = IC (I là trung điểm BC)

AI là cạnh chung

AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)

$\Rightarrow \Delta AIC = \Delta AIB(c - c - c)$

$\Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB}$ (2 góc tương ứng) Mà chúng ở vị trí kề bù $\Rightarrow \widehat {AIC} = \widehat {AIB} = {90^o}$$\Rightarrow AI \bot BC$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow$ A, H, I thẳng hàng.