Đề bài

Giải các bất phương trình sau:

a) \({\log _{\frac{1}{7}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\);

b) \(2\log \left( {2x + 1} \right) > 3\).

Phương pháp giải

Xét bất phương trình dạng \({\log _a}x > b\):

+) a > 1, nghiệm của bất phương trình là \(x > {a^b}\).

+) 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là \(0 < x < {a^b}\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) \({\log _{\frac{1}{7}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\) (ĐK: \(x + 1 > 0;2 - x > 0 \Leftrightarrow  - 1 < x < 2\))

\( \Leftrightarrow {\log _{{7^{ - 1}}}}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\)

\(\Leftrightarrow  - {\log _7}\left( {x + 1} \right) > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\)

\(\Leftrightarrow {\log _7}{\left( {x + 1} \right)^{ - 1}} > {\log _7}\left( {2 - x} \right)\)

\(\Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^{ - 1}} > 2 - x\)

\(\Leftrightarrow \frac{1}{{x + 1}} - 2 + x > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{{1 + \left( {x - 2} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{x + 1}} > 0\)

\(\Leftrightarrow \frac{{1 + {x^2} - x - 2}}{{x + 1}} > 0 \)

\(\Leftrightarrow \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}} > 0\)

Mà x + 1 > 0

\( \Leftrightarrow {x^2} - x - 1 > 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x > \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\)

Kết hợp ĐK ta có \(\left[ \begin{array}{l} - 1 < x < \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2} < x < 2\end{array} \right.\)

b) \(2\log \left( {2x + 1} \right) > 3\) (ĐK: \(2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > \frac{{ - 1}}{2}\))

\( \Leftrightarrow \log \left( {2x + 1} \right) > \frac{3}{2}\)

\(\Leftrightarrow 2x + 1 > {10^{\frac{3}{2}}} = 10\sqrt {10} \)

\(\Leftrightarrow x > \frac{{10\sqrt {10}  - 1}}{2}\)

Kết hợp ĐK ta có \(x > \frac{{10\sqrt {10}  - 1}}{2}\).