Đề bài

Cho \(a,\,b \in {\mathbb{N}^*}\). Hãy so sánh \(\frac{{a + n}}{{b + n}}\) và \(\frac{a}{b}\).

Phương pháp giải

Ta xét 3 TH:

TH1: \(a>b\)

So sánh \(\frac{a}{b} - 1 > \frac{{a + n}}{{b + n}} - 1\)

TH2: \(a<b\)

So sánh \( 1 - \frac{a}{b} > 1 - \frac{{a + n}}{{b + n}}\)

TH3: \(a=b\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta xét ba trường hợp: 

Trường hợp 1: \(a > b\)

Ta có \(\frac{a}{b} - 1 = \frac{{a - b}}{b}\)

\(\frac{{a + n}}{{b + n}} - 1 = \frac{{a + n - b - n}}{{b + n}} = \frac{{a - b}}{{b + n}}\)

Vì \(\frac{{a - b}}{b} > \frac{{a - b}}{{b + n}}\) nên \(\frac{a}{b} - 1 > \frac{{a + n}}{{b + n}} - 1\)

Vậy \(\frac{a}{b} > \frac{{a + n}}{{b + n}}\) khi \(a > b\).

Trường hợp 2: \(a < b\)

Ta có \(\ 1 - \frac{a}{b} = \frac{{b - a}}{b}\)

\( 1 - \frac{{a + n}}{{b + n}} = \frac{{b + n – a - n}}{{b + n}} = \frac{{b - a}}{{b + n}}\)

Vì \(\frac{{b - a}}{b} > \frac{{b - a}}{{b + n}}\) nên \(1 - \frac{a}{b} > 1 - \frac{{a + n}}{{b + n}}\)

Vậy \(\frac{a}{b} < \frac{{a + n}}{{b + n}}\) khi \(a < b\).

Trường hợp 3: \(a = b\)

Ta có \(\frac{a}{b} = \frac{a}{a} = 1\)

\(\frac{{a + n}}{{b + n}} = \frac{{a + n}}{{a + n}} = 1\)

Vậy \(\frac{a}{b} = \frac{{a + n}}{{b + n}}\) khi \(a = b\).