Đề bài

Cho ΔABC vuông tại A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB tại E và HF vuông góc với AC tại F.

a) Chứng minh tứ giác AFHE là hình chữ nhật.

b) Trên tia đối của tia FH lấy điểm M sao cho FH = FM. Trên tia đối của tia EH lấy điểm N sao cho EH = EN. Chứng minh tứ giác AEFM là hình bình hành.

c) Chứng minh A, M, N thẳng hàng.

Phương pháp giải

a) Chứng minh tứ giác AFHE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tứ giác AEFM có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên là hình bình hành.

c) Chứng minh AN và AM cùng song song với EF.

Dựa vào tiên đề Euclid thì A, M, N thẳng hàng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét tứ giác AFHE có:

ˆA=ˆE=ˆF=90 (vì ΔABC vuông tại A, HEAB, HFAC)

Suy ra tứ giác AFHE là hình chữ nhật. (đpcm)

b) Vì  FH // AE (do tứ giác AFHE là hình chữ nhật) nên MF // AE (vì F thuộc MH) (1)

Ta có FH = AE (do tứ giác AFHE là hình chữ nhật)

Mà FH = FM (giả thiết) suy ra AE = MF (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác AEFM là hình bình hành. (đpcm)

c) Vì AF = EH (do tứ giác AFHE là hình chữ nhật) nên AF // NE (vì E thuộc NH) (3)

Ta có AF = EH (do tứ giác AFHE là hình chữ nhật)

Mà HE = EN (gt) nên AF = NE (4)

Từ (3) và (4) suy ra tứ giác AFEN là hình bình hành.

Do đó AN // EF.

Mặt khác, AM // EF (vì tứ giác AEFM là hình bình hành)

Theo tiên đề Euclid thì A, M, N thẳng hàng. (đpcm)

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Tìm hình thoi và hình vuông trong Hình 3.55.

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Cho tam giác ABC, D là một điểm nằm giữa B và C. Qua D kẻ các đường thẳng song song với AB, AC, chúng cắt các cạnh AC, AB lần lượt tại E, F.

a) Tứ giác AEDF là hình gì? Vì sao?

b) Nếu tam giác ABC cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để tứ giác AEDF là hình thoi?

c) Nếu tam giác ABC vuông tại A thì tứ giác AEDF là hình gì?

d) Nếu tam giác ABC vuông cân tại A thì điểm D ở vị trí nào trên cạnh BC để AEDF là hình vuông?

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình chữ nhật là các đỉnh của một hình thoi.

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Chứng minh rằng các trung điểm của bốn cạnh trong một hình thoi là các đỉnh của một hình chữ nhật.

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Cho tam giác ABC; M và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và AC. Lấy điểm P sao cho N là trung điểm của đoạn thẳng MP.

a) Hỏi tứ giác AMCP là hình gì? Vì sao?

b) Với điều kiện nào của tam giác ABC thì tứ giác AMCP là hình chữ nhật; hình thoi; hình vuông?

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của góc A, B, C, D cắt nhau như trên Hình 3.58. Chứng minh rằng EFGH là hình chữ nhật.

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình bình hành.

b) Tứ giác có hai cặp cạnh bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật.

d) Tứ giác có ba cạnh bằng nhau là hình thoi.

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? Khẳng định nào sai?

a) Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình chữ nhật.

b) Tứ giác có hai cạnh đối nào cũng bằng nhau là hình bình hành.

c) Tứ giác có hai cạnh song song và hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

d) Tứ giác có hai cạnh song song và hai cạnh còn lại bằng nhau là hình bình hành.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm P trên tia AB sao cho AP = 2 AB.

a) Tứ giác BPCD có phải là hình bình hành không? Tại sao?

b) Khi tam giác ABD vuông cân tại A, hãy tính số đo các góc của tứ giác BPCD.

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của BC còn P, N lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống CA, AB (H.3.59)

a) Chứng minh hai tam giác vuông CMP và MBN bằng nhau

b) Chứng minh tứ giác APMN là một hình chữ nhật. Từ đó suy ra N là trung điểm của AB, P là trung điểm của AC

c) Lấy điểm Q sao cho P là trung điểm của MQ, chứng minh rằng tứ giác AMCQ là một hình thoi

d) Nếu AB = AC, tức là tam giác ABC vuông cân tại A thì tứ giác AMCQ có là hình vuông không? Vì sao?

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Cho hình bình hành ABCD. Gọi IK lần lượt là trung điểm của các cạnh ABCD; EF lần lượt là giao điểm của AKCI với BD.

a) Chứng minh tứ giác AEFI là hình thang

b) Chứng minh DE=EF=FB

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Tìm các hình bình hành và hình thang có trong hình 22.

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Cho hình thoi ABCD. Hãy chứng tỏ:

a) Nếu ^BAD là góc vuông thì ba góc còn lại của hình thoi cũng là góc vuông.

b) Nếu AC=BD thì ^BAD là góc vuông

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC. Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (EAC; FAB). Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật

b) Tứ giác BFED là hình bình hành

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

B. Hình bình hành có một góc vông là hình chữ nhật

C. Hình bình hành có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình chữ nhật.

D. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi H, D lần lượt là trung điểm của các cạnh BCAB

a) Chứng minh rằng tứ giác ADHC là hình thang

b) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng tứ giác AHBE là hình chữ nhật

c) Tia CD cắt AH tại M và cắt BE tại N. Chứng minh rằng tứ giác AMBN là hình bình hành.

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC

a) Chứng minh rằng tứ giác ANEB là hình thang vuông

b) Chứng minh rằng tứ giác ANEM là hình chữ nhật

c) Qua M kẻ đường thẳng song song với BN cắt EN tại F. Chứng minh rằng tứ giác AFCE là hình thoi

d) Gọi D là điểm đối cứng của E qua M. Chứng minh rằng A là trung điểm của DF

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Cho hình bình hành ABCDAB=2AD. Gọi EF lần lượt là trung điểm của DFCD, I là giao điểm của AFDE, K là giao điểm của BFCE

a) Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành

b) Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

c) Chứng minh tứ giác EIFK là hình chữ nhật

d) Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Cho hình hình hành ABCDAD=2AB. Từ C vẽ CE vuông góc với AB tại E. Nối E với trung điểm M của AD. Từ M vẽ MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N.

a) Tứ giác MNCD là hình gì?

b) Chứng minh tam giác EMC cân tại M

c) Chứng minh rằng ^BAD=2^AEM

Hướng dẫn:

a) Chứng minh EN=NC=NB= 12 BC

b) Chứng minh ^AEM=^EMN=^NMC=^MCD=12^NCD

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Cho bình bình hành ABCD. Gọi M là điểm nằm giữa A và B, N là điểm nằm giữa C và D sao cho    AM = CN. Gọi I là giao điểm của MN và AC. Chứng minh:

a) ΔIAM=ΔICN

b) Tứ giác AMCN là hình bình hành.

c) Ba điểm B, I, D thẳng hàng.

Xem lời giải >>
Bài 21 :

Cho hình thoi ABCD và hình bình hành BCMD. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh:

a) OD=12CM và tam giác ACM là tam giác vuông.

b) Ba điểm A, D, M thẳng hàng.

c) Tam giác DCM là tam giác cân

Xem lời giải >>
Bài 22 :

Cho hình vuông ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Gọi O là giao điểm của AM và BN. Chứng minh:

a) ΔABM=ΔBCN

b) ^BAO=^MBO

c) AMBN

Xem lời giải >>
Bài 23 :

Tổng thống thứ 20 của Hợp chúng quốc Hoa Kỳ, James Abram Garfield đã đưa ra một cách chứng minh định lí Pythagore khá thú vị thông qua bài toán sau đây:

Cho Hình 3.92, trong đó ABCD là hình thang.

a)     Chứng minh ΔAOC=ΔBDO và tam giác COD vuông cân.

b)    Tính diện tích hình thang ABDC theo hai cách.

Từ đó suy ra c2=a2+b2

 

Xem lời giải >>
Bài 24 :

Tìm thông tin thích hợp cho các ô ? theo các mũi tên trong sơ đồ dưới đây:

Xem lời giải >>
Bài 25 :

Khẳng định nào sau đây đúng?

a)    Hình thoi vừa là hình bình hành, vừa là hình thang cân;

b)    Hình chữ nhật vừa là hình bình hành, vừa là hình thang cân;

c)    Hình bình hành có một góc vuông là hình vuông.

Xem lời giải >>
Bài 26 :

Khẳng định nào sau đây đúng?

a)     Nếu tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì các cặp cạnh đối của nó song song;

b)    Tứ giác có hai đường chéo vuông góc và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình vuông;

c)     Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình thoi;

d)    Tứ giác có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Xem lời giải >>
Bài 27 :

Cho biết các tứ giác trong Hình 3.93 là hình nào trong các hình: hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông. Vì sao?

 

Xem lời giải >>
Bài 28 :

Trong Hình 3.95, ABCD là hình chữ nhật, E,F,G,H lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh AB,BC,CD,ADBE=DG=1cm,BF=DH=7cm,AE=AH=CF=CG=5cm.

a)     Tính độ dài các cạnh của tứ giác EFGH.

b)    Chứng minh rằng HF vuông góc với EG.

Xem lời giải >>
Bài 29 :

Chứng minh rằng:

a)     Trong một hình bình hành (không là hình thoi), các tia phân giác của các góc cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật.

b)    Trong một hình chữ nhật (không là hình vuông), các tia phân giác của các góc cắt nhau tạo thành một hình vuông.

Xem lời giải >>
Bài 30 :

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC). Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA.

a) Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật.

b) Gọi E là điểm đối xứng của A qua B. Chứng minh tứ giác BEDC là hình bình hành.

c) EM cắt BD tại K. Chứng minh EK=2KM.

Xem lời giải >>