Đề bài

Tính \(A = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{{99}^2}}}} \right)\)

Phương pháp giải

Để giải quyết được bài toán, ta tìm được quy luật chung của dãy số, sau đó nhóm và rút gọn các số.

Ta có: 

\(1 - \frac{1}{{{2^2}}} = \frac{3}{{{2^2}}} = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}\)

\(1 - \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{8}{{{3^2}}} = \frac{{2.4}}{{{3^2}}}\)

\(1 - \frac{1}{{{4^2}}} = \frac{{15}}{{{4^2}}} = \frac{{3.5}}{{{4^2}}}\)

Tương tự, ta có: \(1 - \frac{1}{{{99^2}}} = \frac{{98.100}}{{{99^2}}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

\(\begin{array}{l}A = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 - \frac{1}{{{3^2}}}} \right)...\left( {1 - \frac{1}{{{{99}^2}}}} \right)\\A = \frac{{1.3}}{{{2^2}}}.\frac{{2.4}}{{{3^2}}}....\frac{{98.100}}{{99}}\\A = \frac{{1.2...98}}{{2.3...99}}.\frac{{3.4...100}}{{2.3...99}}\\A = \frac{1}{{99}}.\frac{{100}}{2}\\A = \frac{{50}}{{99}}\end{array}\)