Đề bài

Chứng minh phân số sau là phân số tối giãn với mọi số nguyên \(n\): \(\frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}\)

Phương pháp giải

- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. Hay có thể nói ước chung lớn nhất của tử và mẫu là bằng 1.

- Ta tìm \(d = ƯCLN(12n + 1; 30n + 2)\)

- Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {12n + 1} \right) \vdots d}\\{\left( {30n + 2} \right) \vdots d}\end{array}} \right.\)

- Ta nhân \(5\) với \(12n+1\) và nhân \(2\) với \(30n+2\) để có thể triệt tiêu \(n\).

- Áp dụng tính chất chia hết của 1 tổng: Nếu \(a \vdots c\) và \(b \vdots c\) thì \((a+b) \vdots c\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(ƯCLN\left( {12n + 1;\,30n + 2} \right)\) là \(d\):

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}12n + 1 \vdots d\\30n + 2 \vdots d\end{array} \right.\) Hay \(\left\{ \begin{array}{l}5.\left( {12n + 1} \right) \vdots d\\2.\left( {30n + 2} \right) \vdots d\end{array} \right.\) Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}60n + 5 \vdots d\\60n + 4 \vdots d\end{array} \right.\)

Suy ra \(\left[ {\left( {60n + 5} \right) - \left( {60n + 4} \right)} \right] \vdots d\)

\(\left( {60n + 5 - 60n - 4} \right) \vdots d\)

Hay \(1 \vdots d\) 

Suy ra \(d =  \pm 1\)