Đề bài

Chứng minh phân số sau là phân số tối giãn với mọi số nguyên $n$: $\frac{{12n + 1}}{{30n + 2}}$

Phương pháp giải

- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. Hay có thể nói ước chung lớn nhất của tử và mẫu là bằng 1.

- Ta tìm $d = ƯCLN(12n + 1; 30n + 2)$

- Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {12n + 1} \right) \vdots d}\\{\left( {30n + 2} \right) \vdots d}\end{array}} \right.$

- Ta nhân $5$ với $12n+1$ và nhân $2$ với $30n+2$ để có thể triệt tiêu $n$.

- Áp dụng tính chất chia hết của 1 tổng: Nếu $a \vdots c$ và $b \vdots c$ thì $(a+b) \vdots c$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi $ƯCLN\left( {12n + 1;\,30n + 2} \right)$ là $d$:

Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}12n + 1 \vdots d\\30n + 2 \vdots d\end{array} \right.$ Hay $\left\{ \begin{array}{l}5.\left( {12n + 1} \right) \vdots d\\2.\left( {30n + 2} \right) \vdots d\end{array} \right.$ Suy ra $\left\{ \begin{array}{l}60n + 5 \vdots d\\60n + 4 \vdots d\end{array} \right.$

Suy ra $\left[ {\left( {60n + 5} \right) - \left( {60n + 4} \right)} \right] \vdots d$

$\left( {60n + 5 - 60n - 4} \right) \vdots d$

Hay $1 \vdots d$ 

Suy ra $d =  \pm 1$