Đề bài

Chứng minh rằng phân số \(\frac{{3n + 2}}{{5n + 3}}\) tối giản với mọi số tự nhiên n.

Phương pháp giải

- Phân số tối giản là phân số không thể rút gọn được nữa. Hay có thể nói ước chung lớn nhất của tử và mẫu là bằng 1.

- Ta tìm \(d = ƯCLN(3n +2; 5n + 3)\)

- Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {3n + 2} \right) \vdots d}\\{\left( {5n + 3} \right) \vdots d}\end{array}} \right.\)

- Ta nhân \(5\) với \(3n+2\) và nhân \(3\) với \(5n+3\) để có thể triệt tiêu \(n\).

- Áp dụng tính chất chia hết của 1 tổng: Nếu \(a \vdots c\) và \(b \vdots c\) thì \((a+b) \vdots c\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(d = ƯCLN(3n +2; 5n + 3)\) (\(d \in {\mathbb{N}^*}\))

Ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\left( {3n + 2} \right) \vdots d}\\{\left( {5n + 3} \right) \vdots d}\end{array}} \right.\) Hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{5.\left( {3n + 2} \right) \vdots d}\\{3.\left( {5n + 3} \right) \vdots d}\end{array}} \right.\) Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{15n + 10 \vdots d}\\{15n + 9 \vdots d}\end{array}} \right.\)

Suy ra \( \left[ {\left( {15n + 10} \right) - \left( {15n + 9} \right)} \right] \vdots d\)

Suy ra \( \left( {15n + 10 - 15n - 9} \right) \vdots d\)

Suy ra \( 1 \vdots d\)

Hay \( d = 1\)