Đề bài

Cho \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\;\) và \(a + b + c = 2022\). Tính \(a, b, c\).

Phương pháp giải

Do \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\;\), suy ra \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} = 0\)

Mà bình phương của một số luôn lớn hơn hoặc bằng \(0\), nên để tổng bình phương các số bằng 0 thì mỗi số hạng phải bằng \(0\).

Suy ra, ta được \(a = b = c\), thay vào \(a + b + c = 2022\), ta tính được \(a, b, c\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta có \({a^2} + {b^2} + {c^2} = ab + bc + ca\;\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}2{a^2} + 2{b^2} + 2c = 2ab + 2bc + 2ca\\2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2bc - 2ca = 0\end{array}\\{{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} = 0}\end{array}\)

Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {b - c} \right)^2} \ge 0;{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\).

Khi đó, \({\left( {a - b} \right)^2} + {\left( {b - c} \right)^2} + {\left( {a - c} \right)^2} \ge 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - b} \right)^2} = 0\\{\left( {b - c} \right)^2} = 0\\{\left( {a - c} \right)^2} = 0\end{array} \right.\).

Suy ra \(a = b = c\)

Theo đề bài, ta có: \(a + b + c = 2022\).

Do đó \(a = b = c = \frac{{2022}}{3} = 674\).