Cho \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}\)
- Khai triển và quy đồng, biến đổi \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\) ta được \(\left( {x + y} \right)\left( {z + z} \right)\left( {y + z} \right) = 0\).
- Nếu \(A.B.C = 0\) thì \(A = 0\) hoặc \(B=0\) hoặc \(C=0\)
- Suy ra \(x + y = 0\) hoặc \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0\)
- Thử từng trường hợp thay vào từng vế của \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}\) để chỉ ra VT = VP
Theo giả thiết, ta có: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\)
Suy ra \(\frac{{yz + xz + xy}}{{xyz}} = \frac{1}{{x + y + z}}\)
\(\begin{array}{l}\left( {yz + xz + xy} \right)\left( {x + y + z} \right) = xyz\\yz\left( {x + y + z} \right) + xz\left( {x + y + z} \right) + xy\left( {x + y + z} \right) = xyz\\xyz + {y^2}z + y{z^2} + {x^2}z + xyz + x{z^2} + {x^2}y + x{y^2} + xyz = xyz\\\left( {{z^2}x + 2xyz + {y^2}z} \right) + \left( {y{z^2} + x{z^2}} \right) + \left( {{x^2}y + x{y^2}} \right) = 0\\z{\left( {x + y} \right)^2} + {z^2}\left( {y + x} \right) + xy\left( {x + y} \right) = 0\\\left( {x + y} \right)\left[ {z\left( {x + y} \right) + {z^2} + xy} \right] = 0\\\left( {x + y} \right)\left( {zx + zy + {z^2} + xy} \right) = 0\\\left( {x + y} \right)\left[ {\left( {xz + xy} \right) + \left( {yz + {z^2}} \right)} \right] = 0\\\left( {x + y} \right)\left[ {x\left( {z + y} \right) + z\left( {y + z} \right)} \right] = 0\\\left( {x + y} \right)\left( {y + z} \right)\left( {x + z} \right) = 0\end{array}\)
Suy ra \(x + y = 0\) hoặc \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0\)
+) Nếu \(x + y = 0\) thì \(x = - y\), khi đó \({x^{2023}} = - {y^{2023}}\)
Ta có: \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}}\)
\(\frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{ - {y^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}} = \frac{1}{{{z^{2023}}}}\)
Do đó: \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}\).
+ Nếu \(y + z = 0\) hoặc \(x + z = 0\), chứng minh tương tự, ta cũng có: \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}\).
Vậy nếu \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{{x + y + z}}\) thì \(\frac{1}{{{x^{2023}}}} + \frac{1}{{{y^{2023}}}} + \frac{1}{{{z^{2023}}}} = \frac{1}{{{x^{2023}} + {y^{2023}} + {z^{2023}}}}\).
Danh sách bình luận