Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) có cạnh đáy \(AB = 5 \ cm\) và độ dài trung đoạn \(SI = 6 \ cm\) (hình vẽ bên). Tính:

a) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp \(S.ABC\)

b) Thể tích của hình chóp \(S.ABC\), biết chiều cao \(SO\) của hình chóp là \(5,8 \ cm\)

Phương pháp giải

- Công thức tính diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều bằng tích của nửa chu vi đáy với trung đoạn.

- Công thức tính diện tích toàn phần bằng diện tích xung quanh hình chóp cộng diện tích đáy.

- Để tính được chiều cao của mặt đáy hình tam giác, ta sử dụng định lí Pythagore.

- Công thức tính thể tích hình chóp tam giác đều bằng \( \frac{1}{3}\) nhân với tích diện tích đáy nhân và chiều cao.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = \frac{1}{2}.\left( {AB + BC + CA} \right).SI = \frac{1}{2}.\left( {5 + 5 + 5} \right).6 = 45\,\left( {c{m^2}} \right)\)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên đường trung tuyến \(CI\) đồng thời là đường cao.

Xét \(ΔACI\) vuông tại \(I\) có \(A{C^2} = A{I^2} + C{I^2}\)

Suy ra \(C{I^2} = A{C^2} - A{I^2} = {5^2} - {\left( {\frac{1}{2}.5} \right)^2} = 25 - \frac{{25}}{4} = \frac{{75}}{4}\)

Do đó \(CI = \sqrt {\frac{{75}}{4}}  \approx 4,33\,cm\).

Diện tích đáy của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\(S_{đáy} = \frac{1}{2}.CI.AB \approx \frac{1}{2}.4,33.5 \approx 10,83\,\left( {c{m^2}} \right)\) 

Diện tích toàn phần của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{tp}} = {S_{xq}} + S_{đáy} \approx 45 + 10,83 = 55,83\,\left( {c{m^2}} \right)\)

b) Thể tích của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\(V = \frac{1}{3}.SO.S_{đáy} \approx \frac{1}{3}.5,8.10,83 \approx 20,94\,\left( {c{m^3}} \right)\)