Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn có $AB < AC$. Gọi $N$ là trung điểm của $AC$. Lấy điểm $D$ trên tia $BN$ sao cho $BN = ND$. Kẻ $AP \bot BC$, $CQ \bot AD$.

a) Chứng minh $N$ là trung điểm của $PQ$.

b) Tam giác $ABC$ cần thêm điều kiện gì để tứ giác $ABCD$ là hình vuông.

Phương pháp giải

- Tứ giác $ABCD$ là hình bình hành (Dấu hiệu hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

- Tứ giác $AQPC$ là hình chữ nhật (Dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông).

- Áp dụng tính chất đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường để suy ra $N$ là trung điểm của $PQ$.

- Để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện $AB \bot BC,\,\,AB = BC$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tứ giác $ABCD$ có hai đường chéo $AC, BD$ cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên $ABCD$ là hình bình hành.

Do đó $AD\parallel BC$.

Ta có $AP \bot BC;\,\,AD\parallel BC$ suy ra $AP \bot AD$ hay $\widehat {PAQ} = {90^o}$.

Vì $AP \bot BC,\,\,CQ \bot AD$ nên $\widehat {APC} = {90^o};\widehat {AQC} = {90^o}$

Tứ giác $APCQ$ có $\widehat {PAQ} = {90^o};\widehat {APC} = {90^o};\widehat {AQC} = {90^o}$ nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo $AC, PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà $N$ là trung điểm của $AC$ nên $N$ là trung điểm của $PQ$.

b) Theo câu a, $ABCD$ là hình bình hành, nên để $ABCD$ là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện $AB \bot BC,\,\,AB = BC$ hay $ΔABC$ vuông cân tại $B$

Vậy để tứ giác $ABCD$ là hình vuông thì tam giác $ABC$ vuông cân tại $B$.