Cho tam giác ABC nhọn có \(AB < AC\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Lấy điểm \(D\) trên tia \(BN\) sao cho \(BN = ND\). Kẻ \(AP \bot BC\), \(CQ \bot AD\).
a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(PQ\).
b) Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.
Cho tam giác ABC nhọn có \(AB < AC\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Lấy điểm \(D\) trên tia \(BN\) sao cho \(BN = ND\). Kẻ \(AP \bot BC\), \(CQ \bot AD\).
a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(PQ\).
b) Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.
- Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành (Dấu hiệu hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).
- Tứ giác \(AQPC\) là hình chữ nhật (Dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông).
- Áp dụng tính chất đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường để suy ra \(N\) là trung điểm của \(PQ\).
- Để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện \(AB \bot BC,\,\,AB = BC\)
a) Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên \(ABCD\) là hình bình hành.
Do đó \(AD\parallel BC\).
Ta có \(AP \bot BC;\,\,AD\parallel BC\) suy ra \(AP \bot AD\) hay \(\widehat {PAQ} = {90^o}\).
Vì \(AP \bot BC,\,\,CQ \bot AD\) nên \(\widehat {APC} = {90^o};\widehat {AQC} = {90^o}\)
Tứ giác \(APCQ\) có \(\widehat {PAQ} = {90^o};\widehat {APC} = {90^o};\widehat {AQC} = {90^o}\) nên là hình chữ nhật.
Khi đó hai đường chéo \(AC, PQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \(PQ\).
b) Theo câu a, \(ABCD\) là hình bình hành, nên để \(ABCD\) là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện \(AB \bot BC,\,\,AB = BC\) hay \(ΔABC\) vuông cân tại \(B\)
Vậy để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).
Các bài tập cùng chuyên đề
Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2cm (hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn.
Một tứ giác có chu vi là \(52\) cm và một đường chéo là \(24\)cm. Tính độ dài của mỗi cạnh và đường chéo còn lại nếu biết hai đường chéo vuông góc tại trung điểm của mỗi đường.
Cho tam giác \(ABC\) cân tại \(A\), gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\). Lấy điểm \(D\) đối xứng với điểm \(A\) qua \(BC\).
a) Chứng minh tứ giác \(ABDC\) là hình thoi
b) Gọi \(E\), \(F\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(AC\), lấy điểm \(O\) sao cho \(E\) là trung điểm của \(OM\). Chứng minh rằng hai tam giác \(AOB\) và \(MBO\) bằng nhau
c) Chứng minh tứ giác \(AEMF\) là hình thoi
Gấp một tờ giấy làm tư như Hình 3.69 và cắt chéo theo đường \(AB\) bất kì (\(A,B\) nằm trên hai mép gấp). Sau khi mở giấy, tứ giác cắt được là hình gì? Vì sao?
- Cho hình bình hành \(ABCD\) có \(AB = AD\). Giải thích vì sao bốn cạnh của \(ABCD\) bằng nhau? Khi đó tứ giác \(ABCD\) là hình gì?
- Cho hình bình hành \(ABCD\) như Hình 3.70. Dựa vào dấu hiệu của tam giác cân, hãy bổ sung một điều kiện cho trung tuyến \(AO\) để tam giác \(ABD\) cân tại \(A\). Khi đó tứ giác \(ABCD\) là hình gì?
Cho hình chữ nhật \(ABCD\) và \(M,N,P,Q\) lần lượt là trung điểm các cạnh \(AB,BC,CD,AD\). Chứng minh rằng \(MNPQ\) là hình thoi.
Hàng rào được đóng từ các thanh gỗ thẳng như trong Hình 3.75 với các thanh \(BN,BQ,DM,DP\) đều bằng 1,3 cm và thanh \(BD\) dài 0,5 cm. Điểm A là trung điểm chung của hai thành \(BN\)và \(DM\), điểm \(C\) là trung điểm chung của hai thanh \(BQ\) và \(DP\).
a) Chứng minh rằng tứ giác \(ABCD\) là hình thoi.
b) Tính khoảng cách giữa hai điểm A và C.
Cho hình bình hành ABCD có \(AD = 2AB\). Gọi M là trung điểm của AD. Kẻ CE vuông góc với AB tại E, MF vuông góc với CE tại F, MF cắt BC tại N. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MDCN là hình thoi;
b) Tam giác EMC là tam giác cân;
c) \(\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}\).
Điền cụm từ thích hợp vào chỗ trống
a) Trong hình thoi ............................ vuông góc với nhau và là ............................................ các góc của hình thoi.
b) Hình bình hành ....................................... bằng nhau là hình thoi.
c) Hình bình hành có ............. đường chéo .............................. với nhau là hình thoi.
d) Tứ giác có ............. cặp cạnh đối ...................................... và có một đường chéo ..................... của một góc là hình thoi.
