Đề bài

Cho tam giác ABC nhọn có \(AB < AC\). Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\). Lấy điểm \(D\) trên tia \(BN\) sao cho \(BN = ND\). Kẻ \(AP \bot BC\), \(CQ \bot AD\).

a) Chứng minh \(N\) là trung điểm của \(PQ\).

b) Tam giác \(ABC\) cần thêm điều kiện gì để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông.

Phương pháp giải

- Tứ giác \(ABCD\) là hình bình hành (Dấu hiệu hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường).

- Tứ giác \(AQPC\) là hình chữ nhật (Dấu hiệu tứ giác có 3 góc vuông).

- Áp dụng tính chất đường chéo của hình chữ nhật cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường để suy ra \(N\) là trung điểm của \(PQ\).

- Để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện \(AB \bot BC,\,\,AB = BC\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tứ giác \(ABCD\) có hai đường chéo \(AC, BD\) cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên \(ABCD\) là hình bình hành.

Do đó \(AD\parallel BC\).

Ta có \(AP \bot BC;\,\,AD\parallel BC\) suy ra \(AP \bot AD\) hay \(\widehat {PAQ} = {90^o}\).

Vì \(AP \bot BC,\,\,CQ \bot AD\) nên \(\widehat {APC} = {90^o};\widehat {AQC} = {90^o}\)

Tứ giác \(APCQ\) có \(\widehat {PAQ} = {90^o};\widehat {APC} = {90^o};\widehat {AQC} = {90^o}\) nên là hình chữ nhật.

Khi đó hai đường chéo \(AC, PQ\) cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà \(N\) là trung điểm của \(AC\) nên \(N\) là trung điểm của \(PQ\).

b) Theo câu a, \(ABCD\) là hình bình hành, nên để \(ABCD\) là hình vuông thì ta cần thêm điều kiện \(AB \bot BC,\,\,AB = BC\) hay \(ΔABC\) vuông cân tại \(B\)

Vậy để tứ giác \(ABCD\) là hình vuông thì tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\).