Đề bài

Cho biểu thức \(N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2 + x}}\).

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức \(N\)

b) Rút gọn biểu thức \(N\)

c) Tính giá trị của biểu thức \(N\) khi \(\left| x \right| = 2\)

Phương pháp giải

- Điều kiện xác định của biểu thức \( \frac{A}{B}\) là \(B \ne 0\)

- Để rút gọn biểu thức ta quy đồng để tìm mẫu thức chung.

- Để tính giá trị \(\left| x \right| = 2\) ta áp dụng kiến thức: \(\left| x \right| = a\)

TH1: \(x = a\) khi \(a \ge 0\)

Th2: \(x =  - a\) khi \(a < 0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có \({x^2} - 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\).

Điều kiện xác định của biểu thức \(N\) là \(x + 1 \ne 0\); \(x - 1 \ne 0\); \(2 + x \ne 0\) và \({x^2} - 1 \ne 0\)

Hay \(x \ne  - 1\); \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2\).

Vậy biểu thức \(N\) xác định khi \(x \ne  - 1\); \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2\)

b) Với \(x \ne  - 1\); \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2\). ta có:

\(\begin{array}{l}N = \left( {\frac{1}{{x + 1}} + \frac{x}{{x - 1}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 1}}} \right).\frac{{x - 1}}{{2 + x}}\\ = \frac{1}{{x + 1}}.\frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{x}{{x - 1}}.\frac{{x - 1}}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)}}.\frac{{x - 1}}{{2 + x}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{1}{{2 + x}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ = \frac{{x - 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{{x + 1}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}} + \frac{{{x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ = \frac{{x - 1 + x + 1 + {x^2}}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ = \frac{{{x^2} + 2x}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ = \frac{{x\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {2 + x} \right)}}\\ = \frac{x}{{x + 1}}\end{array}\)

Vậy với \(x \ne  - 1\); \(x \ne 1\) và \(x \ne  - 2\), thì \(N = \frac{x}{{x + 1}}\).

c) Ta có \(\left| x \right| = 2\) suy ra \(x=2\) (thỏa mãn điều kiện) hoặc \(x=-2\) (không thỏa mãn điều kiện).

Thay \(x=2\) vào biểu thức \(N = \frac{x}{{x + 1}}\), ta được:

\(N = \frac{2}{{2 + 1}} = \frac{2}{3}\).

Vậy \(N=\frac{2}{3}\) khi \(\left| x \right| = 2\).