Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $G,N$ lần lượt là trọng tâm của tam giác $SAB,ABC$.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$ và $\left( {SBD} \right)$.

b) Chứng minh rằng $NG$ song song với mặt phẳng $\left( {SAC} \right)$.

Phương pháp giải

a) Tìm 2 điểm chung của 2 mặt phẳng (SAC) và (SBD). Giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng đi qua 2 điểm chung đó.

b) Chứng minh NG song song với 1 đường thẳng thuộc (SAC).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}S \in (SAC)\\O \in AC \subset (SAC)\end{array} \right.\) suy ra \(SO \subset (SAC)\).

\(\left\{ \begin{array}{l}S \in (SBD)\\O \in BD \subset (SBD)\end{array} \right.\) suy ra \(SO \subset (SBD)\).

Vậy SO là giao tuyến của (SAC) và (SBD).

b) Gọi I là trung điểm của AB.

Xét tam giác ABC có N là trọng tâm và CI là trung tuyến, ta có: \(\frac{{IN}}{{IC}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác SAB có G là trọng tâm và SI là trung tuyến, ta có: \(\frac{{IG}}{{IS}} = \frac{1}{3}\).

Xét tam giác SIC có \(G \in SI\), \(N \in IC\) và \(\frac{{IG}}{{IS}} = \frac{{IN}}{{IC}} = \frac{1}{3}\).

Suy ra GN//SC (định lý Thales đảo).

Mà SC thuộc mặt phẳng (SAC) và GN không thuộc mặt phẳng (SAC).

Vậy GN//(SAC).