Đề bài

Cho \(\Delta ABC\) có \(AB = 9cm,AC = 12cm\) và \(BC = 15cm.\) Trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(M\) sao cho \(AM = 4cm\) và trên cạnh \(AB\) lấy điểm \(N\) sao cho \(AN = 3cm\) . Gọi \(O\) là giao điểm của \(CM\) và \(BN\) . Chứng minh rằng:

a) \(\Delta ABN ∽ \Delta ACM;\)

b) \(\Delta BMO ∽ \Delta CNO;\)

c) \(\Delta BOC ∽ \Delta MON;\)

d) \(CM\) là tia phân giác của góc \(ACB\) và \(\Delta MBN\) cân tại \(M.\) 

Phương pháp giải

Dựa vào các trường hợp đồng dạng của tam giác để chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét hai tam giác \(ABN\) và tam giác \(ACM\) , ta có:

 \(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AM}} = \frac{3}{4}\)

 \(\widehat A\) là góc chung

=> \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) (cạnh-góc-cạnh)

b) Xét hai tam giác \(BMO\) và tam giác \(CNO\) , ta có:

 \(\widehat {MBO} = \widehat {NCO}\) (do \(\Delta ABN\) ∽ \(\Delta ACM\) )

 \(\widehat {MOB} = \widehat {NOC}\) (hai góc đối đỉnh)

=> \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) (góc-góc)

c) Vì \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) , ta có tỉ số đồng dạng:

 \(\frac{{OB}}{{OC}} = \frac{{MO}}{{NO}} \Rightarrow \frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\)

Xét tam giác \(BOC\) và tam giác \(MON\) , ta có:

 \(\frac{{OB}}{{NO}} = \frac{{OC}}{{NO}}\)

 \(\widehat {MOB} = \widehat {CON}\) (hai góc đối đỉnh)

=> \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) (cạnh-góc-cạnh)

d) Xét tam giác \(ABC\) , ta có:

 \(\begin{array}{l}\frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{12}}{{15}} = \frac{4}{5}\\\frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\\ = > \frac{{AC}}{{BC}} = \frac{{AM}}{{MB}} = \frac{4}{5}\end{array}\)

=> \(CM\) là tia phân giác của tam giác \(ABC\) .

Lại có:

 \(\widehat {NCM} = \widehat {MCB}\) (do CM là tia phân giác)

Mà \(\widehat {NCM} = \widehat {MBN}\) (do \(\Delta BMO\) ∽ \(\Delta CNO\) )

Suy ra \(\widehat {MCB} = \widehat {MBN}\)

Mà \(\widehat {MCB} = \widehat {MNB}\) (do \(\Delta BOC\) ∽ \(\Delta CNO\) )

Suy ra \(\widehat {MBN} = \widehat {MNB}\)

Vậy tam giác \(MBN\) là tam giác cân tại \(M\) .