Đề bài

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4, AD là đường phân giác. Tính: 

a) Độ dài các đoạn thẳng BC, DB, DC;

b) Khoảng cách từ điểm D đến đường thẳng AC;

c) Độ dài đường phân giác AD

Phương pháp giải

Sử dụng định lý đường phân giác để tính độ dài các đoạn thẳng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)      Tam giác ABC vuông tại A nên ta có:

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = \sqrt {{3^2} + {4^2}}  = 5\)

Vì AD là đường phân giác của tam giác ABC nên ta có:

\(\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}}\) (Tính chất đường phân giác trong tam giác)

\( \Rightarrow \frac{{DB}}{{DC}} = \frac{3}{4} \Rightarrow DB = \frac{3}{4}DC\)

Mà \(BD + CD = BC \Rightarrow \frac{3}{4}CD + CD = 5 \Rightarrow CD = \frac{{20}}{7}\)

\( \Rightarrow BD = 5 - \frac{{20}}{7} = \frac{{15}}{7}\).

b)     Từ D kẻ đường thẳng vuông góc với AC cắt AC tại E. Khi đó DE là khoảng cách từ D đến đường thẳng AC.

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}DE \bot AC\\AB \bot AC\end{array} \right\} \Rightarrow DE// AB\)

\( \Rightarrow \frac{{DE}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{BC}} \Rightarrow \frac{{DE}}{3} = \frac{{\frac{{20}}{7}}}{5} \Rightarrow DE = \frac{{12}}{7}\) (Tính chất đường phân giác)

c)      Xét tam giác ABC có \(DE// AB\) nên \(\frac{{BD}}{{BC}} = \frac{{AE}}{{AC}}\) (Định lý Thales)

\( \Rightarrow \frac{{\frac{{15}}{7}}}{5} = \frac{{AE}}{4} \Rightarrow AE = \frac{{12}}{7}\)

Tam giác ADE vuông tại E nên ta có:

\(AD = \sqrt {A{E^2} + D{E^2}}  = \sqrt {{{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{12}}{7}} \right)}^2}}  = \frac{{12\sqrt 2 }}{7}\)