Đề bài

Cho hình thang ABCD \(\left( {AB\parallel CD} \right)\). Giả sử M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC. Chứng minh:

a)      M, N, P thẳng hàng

b)     \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\).

Phương pháp giải

a) Chứng minh MP và PN lần lượt là đường trung bình của hai tam giác ADC và ABC.

b) Sử dụng định lý đường trung bình của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh đó để chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)      Vì M và P lần lượt là trung điểm của hai cạnh AD, AC nên MP là đường trung bình của tam giác ADC.

\( \Rightarrow MP\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 1 \right)\)

Vì P và N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC, BC nên PN là đường trung bình của tam giác ABC.

\( \Rightarrow PN\parallel AB\parallel CD\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) ta có \(MP \equiv PN\) hay ba điểm M, N, P thẳng hàng.

b)     Vì MP là đường trung bình của tam giác ADC nên \(MP = \frac{1}{2}DC\).

Vì PN là đường trung bình của tam giác ABC nên \(PN = \frac{1}{2}AB\).

Ta có:

\(MN = MP + PN = \frac{1}{2}DC + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}\left( {DC + AB} \right)\)

Vậy \(MN = \frac{1}{2}\left( {AB + CD} \right)\).