Đề bài

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Đường thẳng qua G song song với BC lần lượt cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3} \).

Phương pháp giải

Sử dụng định lý Thales để chứng minh \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi AD là đường trung tuyến của tam giác ABC (D \(\in\) BC)

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = \(\frac{2}{3}\) AD hay \(\frac{AG}{AD} =\frac{2}{3}\) .

Xét tam giác ABD với MG // BD, ta có: 

\( \frac {AM}{AB} = \frac{AG}{AD} =\frac{2}{3}\) (Định lí Thales) (1)

Tương tự, xét 

tam giác ADC với GN // DC, ta có: 

\( \frac {AN}{AC} = \frac{AG}{AD} =\frac{2}{3}\) (Định lí Thales) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \( \frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{2}{3} \) (đpcm).