Đề bài

Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 0 sao cho khi chia nó cho 2 thì được một số chính phương. Khi chia nó cho 3 thì được lập phương của một số tự nhiên.

Phương pháp giải

- Gọi số phải tìm là n; a là số chính phương; b là số lập phương.

- Do \(n \vdots 2;\,\,n \vdots 3\) nên n có dạng \({2^x}{.3^y}\)

- Xét \(n \vdots 2\) và \(n \vdots 3\) để xét điều kiện của số mũ.

- Luỹ thừa chia hết khi số mũ của biến ở tử lớn hơn số mũ của biến ở mẫu.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi số phải tìm là n; a là số chính phương; b là số lập phương.

Ta thấy n chia hết cho 2 và 3 (vì số chính phương hay lập phương của một số tự nhiên đều là số tự nhiên) nên n nhỏ nhất, ta chọn \(n = {2^x}{.3^y}\) (x và y khác 0)

\(n:2 = {2^x}{.3^y}:2 = {2^{x - 1}}{.3^y} = {a^2}\)

Suy ra \(x - 1\) và \(y\) đều chia hết cho 2 hay đều là số chẵn. (1)

\(n:3 = {2^x}{.3^y}:3 = {2^{x}}{.3^{y - 1}} = {a^3}\)

Suy ra \(x\) và \(y - 1\) đều chia hết cho 3. (2)

Từ (1) và (2) để x đạt nhỏ nhất. Suy ra \(x = 3\)

Từ (1) và (2) để y đạt nhỏ nhất. Suy ra \(y = 4\)

Vậy \(n = {2^3}{.3^4} = 648\).

Vậy số cần tìm là 648.