Đề bài

Cho tứ giác ABCD và điểm O(O không thuộc các đường thẳng AB, BC, CD, DA). Trên các tia \(OA,OB,OC,OD\) lần lượt lấy các điểm \(A',B',C',D'\) sao cho \(OA' = \frac {1}{2} OA,OB' = \frac {1}{2} OB,OC' = \frac {1}{2} OC,OD' = \frac {1}{2} OD\) (Hình 2).

Tính và so sánh các tỉ số \(\frac{{A'B'}}{{AB}};\frac{{A'D'}}{{AD}};\frac{{B'C'}}{{BC}};\frac{{C'D'}}{{CD}}\).

Phương pháp giải

- Ta thực hiện các phép tính tỉ số.

- Sử dụng định lí Thales đảo;

- Sử dụng hệ quả của định lí Thales;

Lời giải của GV Loigiaihay.com

- Vì \(OA' = \frac {1}{2} OA \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{1}{2}\);\(OB' = \frac {1}{2} OB \Rightarrow \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(OAB\) có:

\(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(A'B'//AB\) (định lí Thales đảo)

Vì \(A'B'//AB \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

- Vì \(OA' = \frac {1}{2} OA \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{1}{2}\);\(OD' = \frac {1}{2}OD \Rightarrow \frac{{OD'}}{{OD}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(OAD\) có:

\(\frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OD'}}{{OD}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(A'D'//AD\) (định lí Thales đảo)

Vì \(A'D'//AD \Rightarrow \frac{{OA'}}{{OA}} = \frac{{OD'}}{{OD}} = \frac{{A'D'}}{{AD}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

- Vì \(OB' = \frac {1}{2} OB \Rightarrow \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{1}{2}\);\(OC' = \frac {1}{2} OC \Rightarrow \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(OBC\) có:

\(\frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(B'C'//BC\) (định lí Thales đảo)

Vì \(B'C'//BC \Rightarrow \frac{{OB'}}{{OB}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

- Vì \(OD' = \frac {1}{2} OD \Rightarrow \frac{{OD'}}{{OD}} = \frac{1}{2}\);\(OC' = \frac {1}{2}OC \Rightarrow \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{1}{2}\).

Xét tam giác \(ODC\) có:

\(\frac{{OD'}}{{OD}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{1}{2}\)

Do đó, \(D'C'//DC\) (định lí Thales đảo)

Vì \(D'C'//DC \Rightarrow \frac{{OD'}}{{OD}} = \frac{{OC'}}{{OC}} = \frac{{D'C'}}{{DC}} = \frac{1}{2}\) (hệ quả của định lí Thales)

Do đó, \(\frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{AB}} = \frac{{C'D'}}{{CD}} = \frac{{A'D'}}{{AD}}\).