Đề bài

Cho \(M,N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh \(AB;AC\) của tam giác \(ABC\).

a) Tính các tỉ số \(\frac{{AM}}{{AB}},\frac{{AN}}{{AC}}\);

b) Chứng mình \(MN//BC\);

c) Chứng minh \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).

Phương pháp giải

- Tỉ số giữa hai đoạn thẳng là tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng khi cùng đơn vị đo.

- Định lí Thales đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

- Hệ quả định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Vì \(AM = MB \Rightarrow M\) là trung điểm của \(AB\) (do \(M\) thuộc \(AB\))

\( \Rightarrow AM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2}\);

Vì \(AN = NC \Rightarrow N\) là trung điểm của \(AC\) (do \(N\) thuộc \(AC\))

\( \Rightarrow AN = \frac{1}{2}AC \Leftrightarrow \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}\).

b) Vì \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2};\frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}}\) nên áp dụng định lí Thales đảo ta được \(MN//BC\).

c) Xét tam giác \(ABC\) có \(MN//BC\) nên áp dụng hệ quả định lí Thales ta được \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}}\)

Mà \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\).

Vậy \(\frac{{MN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\) (điều phải chứng minh).