Đề bài

Trong Hình 5, chứng minh \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\).

 

Phương pháp giải :

- Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh tam giác.

- Hệ quả của định lí Thales

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì tạo ra một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

Lời giải chi tiết :

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}MN \bot AB\\CA \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow MN//CA\) (Quan hệ từ vuông góc đến song song).

Ta có:

\(AM = BM \Rightarrow BM = \frac{1}{2}AB \Leftrightarrow \frac{{BM}}{{AB}} = \frac{1}{2}\) hay \(M\) là trung điểm của \(AB\).

Xét tam giác \(ABC\) có \(NM//AC;MN\) cắt \(BA;BC\) lần lượt tại \(M;N\). Theo hệ quả của định lí Thales ta có:

\(\frac{{BM}}{{AB}} = \frac{{BN}}{{BC}} \Leftrightarrow \frac{{BN}}{{BC}} = \frac{1}{2}\)

Hay \(2BN = BC\). Do đó, \(N\) là trung điểm của \(BC\).

Xét tam giác \(ABC\) có:

\(M\) là trrung điểm của \(AB\)

\(N\) là trrung điểm của \(BC\)

Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(ABC\) (điều phải chứng minh).