Đề bài

Hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông tại $A$ có $SA$ vuông góc với mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$  và có $SA = a,AB = b,AC = c$. Mặt cầu đi qua các đỉnh $A,B,C,S$ có bán kính $r$ bằng :

• A. $\dfrac{{2(a + b + c)}}{3}$    
• B. $2\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $        
• C. $\dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $  
• D. $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}} \)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Vì \(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA \bot AB\\SA \bot AC\end{array} \right.\).

Mà \(AB \bot AC\) nên hình chóp \(S.ABC\) là tứ diện vuông.

Áp dụng công thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện vuông ta được \(R = \sqrt {\dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{4}}  = \dfrac{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}{2}\) 

Đáp án : C

Chú ý

Có thể giải bài toán bằng cách khác như sau:

Dựng hình hộp chữ nhật có $3$ cạnh là $a,b,c$ nên có độ dài đường chéo là $\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $.

Do đó bán kính mặt cầu đi qua $8$ đỉnh của hình hộp là $\dfrac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $.