Đề bài

Sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán sau:

Bạn An muốn trưng bày một mô hình tháp Eiffel trong một cái hộp có dạng hình chóp tam giác đều với cạnh bên bằng 20 cm. Các mặt bên là các tam giác vuông và chân tháp nằm trên mặt đáy của cái hộp (Hình 5.14). Hỏi nếu mô hình tháp Eiffel này cao 11 cm thì có đặt được trong hộp không? Vì sao?

Phương pháp giải

- Thiết lập hệ tọa độ Oxyz.

- Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác đáy.

- Sử dụng định lý Pythagoras để tính chiều cao của hình chóp.

- So sánh chiều cao của mô hình với chiều cao của hình chóp.

- Kết luận mô hình có đặt vừa trong hộp hay không.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi mặt đáy là tam giác ABC. Ta có các cạnh của tam giác ABC sẽ bằng:

\(AB = AC = BC = \sqrt {{{20}^2} + {{20}^2}}  = 20\sqrt 2 \,\,\,(cm)\)

Suy ra đường trung tuyến trong tam giác ABC là:

\(20\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 10\sqrt 6 \,\,\,(cm)\)

Đặt gốc toạ độ \(O(0;0;0)\) tại trung điểm của của BC, trục Oy trùng với BC, trục Oy nằm trên đường trung tuyến của điểm A. Từ đó suy ra các toạ độ của tam giác như sau:

\(A(10\sqrt 6 ;0;0),\,\,\,\,\,B(0; - 10;0),\,\,\,\,\,\,C(0;10;0)\)

Gọi toạ độ trọng tâm tam giác ABC là G, toạ độ của G là:

\(G\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;0} \right)\)

Gọi h là chiều cao của hình chóp, ta gọi đỉnh hình chóp là S. Vì hình chóp S.ABC là hình chóp tam giác đều nên toạ độ của S sẽ là: \(\left( {\frac{{10\sqrt 6 }}{3};0;h} \right)\).

Theo đề bài ta có độ dài các cạnh bên là 20cm, tương đương:

\(SA = 20 \Rightarrow \sqrt {{{\left( {10\sqrt 6  - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)}^2} + {h^2}}  = 20 =  > {h^2} = {20^2} - {\left( {10\sqrt 6  - \frac{{10\sqrt 6 }}{3}} \right)^2}\)

\(h = \sqrt {\frac{{400}}{3}}  = \frac{{20}}{{\sqrt 3 }} \approx 11,547\,\,\,(cm)\)

Vì chiều cao của hộp lớn hơn chiều cao của mô hình nên bạn An có thể đặt mô hình tháp Eiffel vào trong hộp.