Trong không gian \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - 3y + z + 3 = 0\), \(\left( {{\alpha _2}} \right):4x - 6y + 2z + 5 = 0\)và điểm \(M( - 2;0;1)\).
a) Hãy chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mỗi mặt phẳng. Có nhận xét gì về phương của các vectơ này?
b) Mặt phẳng nào đi qua điểm M?
c) Hai mặt phẳng này song song với nhau không? Vì sao?
a) Phương trình mặt phẳng có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\) thì \(\overrightarrow n = \left( {A;B;C} \right)\) chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đó.
b) Thay \(M\) vào từng phương trình của mặt phẳng để kiểm tra.
c) Nếu vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì hai mặt phẳng đó cũng song song hoặc trùng nhau.
a)
Vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng là:
\(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} = \left( {2; - 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} = \left( {4; - 6;2} \right)\)
Có thể thấy hai vectơ này cùng phương với nhau vì:
\(\frac{4}{2} = \frac{{ - 6}}{{ - 3}} = \frac{2}{1} = 2\)
b)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _1})\):
\(2.( - 2) - 3.0 + 1 + 3 = 0\)
Thay M vào phương trình mặt phẳng \(({\alpha _2})\):
\(4.( - 2) - 6.0 + 2.1 + 5 = - 1 \ne 0\)
Vậy M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\).
c)
Từ câu a có thể thấy hai vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow {{n_{{\alpha _1}}}} ,\overrightarrow {{n_{{\alpha _2}}}} \) song song với nhau nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) có thể song song hoặc trùng nhau.
Mặt khác, điểm M thuộc mặt phẳng \(({\alpha _1})\) nhưng không thuộc mặt phẳng \(({\alpha _2})\) nên hai mặt phẳng \(({\alpha _1})\) và \(({\alpha _2})\) song song với nhau.
Danh sách bình luận