Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) với các điểm \(A'(3;2; - 5)\), \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), và \(C(0;2;1)\).

a) Chứng minh rằng mặt phẳng (ABC) song song với mặt phẳng \(\alpha \): \(9x + 13y + 7z = 0\)

b) Viết phương trình mặt phẳng (A'B'C').

Phương pháp giải

a)

- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC).

- Sử dụng tính chất: Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương, nghĩa là tỉ số các hệ số của hai phương trình mặt phẳng phải tương ứng với nhau.

b)

- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC vì hai mặt phẳng này song song.

- Sau đó viết phương trình mặt phẳng dựa vào vectơ pháp tuyến này và tọa độ của một điểm trên mặt phẳng, ví dụ A′.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a)

Tọa độ các điểm \(A(3;1; - 1)\), \(B(2; - 1;4)\), \(C(0;2;1)\).

Vector \(\overrightarrow {AB}  = B - A = (2 - 3, - 1 - 1,4 - ( - 1)) = ( - 1, - 2,5)\).

Vector \(\overrightarrow {AC}  = C - A = (0 - 3,2 - 1,1 - ( - 1)) = ( - 3,1,2)\).

Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \) là:

\(\overrightarrow {{n_{ABC}}}  = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {AC}  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 1}&{ - 2}&5\\{ - 3}&1&2\end{array}} \right| = {\bf{i}} \cdot (( - 2) \cdot 2 - 5 \cdot 1) - {\bf{j}} \cdot (( - 1) \cdot 2 - 5 \cdot ( - 3)) + {\bf{k}} \cdot (( - 1) \cdot 1 - ( - 2) \cdot ( - 3))\)

\( = {\bf{i}} \cdot ( - 4 - 5) - {\bf{j}} \cdot ( - 2 + 15) + {\bf{k}} \cdot ( - 1 - 6) = {\bf{i}} \cdot ( - 9) - {\bf{j}} \cdot (13) + {\bf{k}} \cdot ( - 7) = ( - 9, - 13, - 7).\)

Vậy vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}}  = ( - 9, - 13, - 7)\).

Phương trình mặt phẳng \(\alpha \) cho trước là: \(9x + 13y + 7z = 0\).

Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha \) là \(\overrightarrow {{n_\alpha }}  = (9,13,7)\).

Ta thấy \(\overrightarrow {{n_{ABC}}}  = ( - 9, - 13, - 7)\) là cùng phương với \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \), do đó hai mặt phẳng (ABC) và \(\alpha \) song song với nhau.

b)

Vì \(ABC.A'B'C'\) là hình lăng trụ nên mặt phẳng ABC và mặt phẳng A′B′C′ song song với nhau nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng ABC cũng là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′.

Suy ra vector pháp tuyến của mặt phẳng A′B′C′ là \(\overrightarrow {{n_{A'B'C'}}}  = ( - 9, - 13, - 7)\).

Phương trình mặt phẳng (A'B'C') là:

\( - 9(x - 3) - 13(y - 2) - 7(z + 5) = 0\)

hay rút gọn lại là:

\( - 9x - 13y - 7z + 18 = 0\)