Trong không gian Oxyz, cho hình chóp S.ABC có \(S(2; - 1;7)\), \(A(2; - 1;3)\), \(B(5;2;3)\), \(C(8; - 1;3)\). Chứng minh rằng mặt phẳng (SAB) vuông góc với hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).
Để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), ta cần kiểm tra xem tích vô hướng của hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng này có bằng 0 hay không. - Tương tự, để chứng minh mặt phẳng \((SAB)\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\), ta cũng kiểm tra điều kiện tích vô hướng giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng.
* Tìm vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng
a) Mặt phẳng \((ABC)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((ABC)\):
\(\overrightarrow {AB} = B - A = (5 - 2;2 + 1;3 - 3) = (3;3;0),\)
\(\overrightarrow {AC} = C - A = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 3) = (6;0;0).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \):
\(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = \overrightarrow {AB} \times \overrightarrow {AC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&0\\6&0&0\end{array}} \right| = (0;0; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} = (0;0; - 18)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\):
- Ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SAB)\):
\(\overrightarrow {SA} = A - S = (2 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (0;0; - 4),\)
\(\overrightarrow {SB} = B - S = (5 - 2;2 + 1;3 - 7) = (3;3; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SA} \) và \(\overrightarrow {SB} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = \overrightarrow {SA} \times \overrightarrow {SB} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\0&0&{ - 4}\\3&3&{ - 4}\end{array}} \right| = (12; - 12;0).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SAB)\) là \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} = (12; - 12;0)\).
c) Mặt phẳng \((SBC)\):
- Tương tự, ta cần tìm hai vectơ chỉ phương của mặt phẳng \((SBC)\):
\(\overrightarrow {SB} = (3;3; - 4)\quad {\rm{v\`a }}\quad \overrightarrow {SC} = C - S = (8 - 2; - 1 + 1;3 - 7) = (6;0; - 4).\)
- Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là tích có hướng của \(\overrightarrow {SB} \) và \(\overrightarrow {SC} \):
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = \overrightarrow {SB} \times \overrightarrow {SC} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\3&3&{ - 4}\\6&0&{ - 4}\end{array}} \right| = ( - 12; - 12; - 18).\)
Do đó, một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((SBC)\) là:
\(\overrightarrow {{n_{SBC}}} = ( - 12; - 12; - 18)\)
* Chứng minh các mặt phẳng vuông góc
a) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((ABC)\):
- Để kiểm tra \((SAB)\) vuông góc với \((ABC)\), ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{ABC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{ABC}}} = (12; - 12;0) \cdot (0;0; - 18) = 12 \times 0 + ( - 12) \times 0 + 0 \times ( - 18) = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (ABC)\).
b) Mặt phẳng \((SAB)\) và \((SBC)\):
- Tương tự, ta tính tích vô hướng của \(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \) và \(\overrightarrow {{n_{SBC}}} \):
\(\overrightarrow {{n_{SAB}}} \cdot \overrightarrow {{n_{SBC}}} = (12; - 12;0) \cdot ( - 12; - 12; - 18) = 12 \times ( - 12) + ( - 12) \times ( - 12) + 0 \times ( - 18) = - 144 + 144 + 0 = 0.\)
- Vì tích vô hướng bằng 0, nên \((SAB) \bot (SBC)\).
Danh sách bình luận