Đề bài

Một phần sân nhà bác An có dạng hình thang \(ABCD\) vuông tại \(A\) và \(B\) với độ dài \(AB = 9{\mkern 1mu} m\), \(AD = 5{\mkern 1mu} m\) và \(BC = 6{\mkern 1mu} m\) như Hình 5.9. Theo thiết kế ban đầu thì mặt sân bằng phẳng và các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) có độ cao như nhau. Sau đó bác An thay đổi thiết kế để nước có thể thoát về phía góc sân ở vị trí \(C\) bằng cách giữ nguyên độ cao ở \(A\), giảm độ cao của sân ở vị trí \(B\) và \(D\) xuống thấp hơn độ cao ở \(A\) lần lượt là \(6{\mkern 1mu} cm\) và \(3,6{\mkern 1mu} cm\). Để mặt sân sau khi lát gạch vẫn là bề mặt phẳng thì bác An cần phải giảm độ cao ở \(C\) xuống bao nhiêu centimet so với độ cao ở \(A\)?

Phương pháp giải

- Ta coi các độ cao là tọa độ \(z\) của các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) trong không gian. Do độ cao của điểm \(A\) không thay đổi, ta đặt \({z_A} = 0\). Giả sử các tọa độ khác của các điểm là tọa độ trong mặt phẳng \(Oxy\), ta có:

\(A(0;0;0),\quad B(9;0; - 0,06),\quad D(0;5; - 0,036),\quad C({x_C};{y_C};{z_C})\)

- Xác định phương trình mặt phẳng chứa các điểm \(A\), \(B\), \(D\) (vì mặt phẳng này là phẳng nên tọa độ \(z\) của \(C\) phải thỏa mãn phương trình này).

- Tìm tọa độ \({z_C}\) bằng cách giải hệ phương trình.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi độ cao của các điểm \(A,B,C,D\)lần lượt là \({z_A}\), \({z_B}\), \({z_C}\), \({z_D}\). Theo đề bài, ta có:

\({z_A} = {z_B} = {z_D} = 0.\)

Sau khi điều chỉnh, độ cao của các điểm \(B,D\) được thay đổi như sau:

\({z_B} =  - 0,06{\mkern 1mu} {\rm{m}},\quad {z_D} =  - 0,036{\mkern 1mu} {\rm{m}}.\)

Để mặt sân sau khi lát gạch là một mặt phẳng, ta cần lập phương trình mặt phẳng \((ABCD)\) đi qua ba điểm \(A(0;0;0)\), \(B(9;0; - 0,06)\), \(D(0;5; - 0,036)\). Phương trình mặt phẳng có dạng:

\(Ax + By + Cz + D = 0.\)

Vì mặt phẳng đi qua \(A(0;0;0)\), thay \(A(0;0;0)\) vào phương trình ta được:

\(D = 0.\)

Do đó, phương trình mặt phẳng có dạng:

\(Ax + By + Cz = 0.\)

Tính hai vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):

\(\overrightarrow {AB}  = (9;0; - 0,06)\)

\(\overrightarrow {AD}  = \left( {0;5; - 0,036} \right)\)

Tích có hướng của \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AD} \):

\(\left( {0.( - 0,036) - ( - 0,06).5;( - 0,06).0 - 9.( - 0,036);9.5 - 0.0} \right)\)

\( = (0,3;0,324;45)\)

Ta có phương trình mặt phẳng:

\(0,3x + 0,324y + 45z = 0\)

Thay tọa độ \(C(9;6;{z_C})\) vào phương trình:

\(0,3.(9) + 0,324.(6) + 45{z_C} = 0\)

\(2,7 + 1,944 + 45{z_C} = 0\)

\({z_C} =  - 0,1032{\mkern 1mu} {\rm{m}}\)

Vậy độ cao của điểm \(C\) cần giảm là:

\({z_C} =  - 0.1032{\mkern 1mu} {\rm{m}} =  - 10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}.\)

Bác An cần hạ độ cao của điểm \(C\) xuống khoảng \(10.32{\mkern 1mu} {\rm{cm}}\) so với độ cao của điểm \(A\).