Đề bài

Trong không gian Oxyz, cho tứ diện \(ABCD\) có các đỉnh là \(A(5;1;3)\), \(B(1;6;2)\), \(C(5;0;4)\) và \(D(4;0;6)\). Tìm một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) chứa cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\).

Phương pháp giải

Vì mặt phẳng \((\alpha )\) chứa cạnh \(AB\) và song song với cạnh \(CD\), nên vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) sẽ vuông góc với cả \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là tích có hướng của hai vectơ:

\(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {CD} \).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Tính vectơ chỉ phương của các cạnh:

\(\overrightarrow {AB}  = B - A = (1 - 5,6 - 1,2 - 3) = ( - 4,5, - 1)\)

\(\overrightarrow {CD}  = D - C = (4 - 5,0 - 0,6 - 4) = ( - 1,0,2)\)

Tính tích có hướng \(\vec n = \overrightarrow {AB}  \times \overrightarrow {CD} \):

\(\vec n = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}{\bf{i}}&{\bf{j}}&{\bf{k}}\\{ - 4}&5&{ - 1}\\{ - 1}&0&2\end{array}} \right|\)

Tính từng bước:

\(\vec n = {\bf{i}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}5&{ - 1}\\0&2\end{array}} \right| - {\bf{j}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right| + {\bf{k}}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 4}&5\\{ - 1}&0\end{array}} \right|\)

\( = {\bf{i}}(5 \cdot 2 - ( - 1) \cdot 0) - {\bf{j}}( - 4 \cdot 2 - ( - 1) \cdot ( - 1)) + {\bf{k}}( - 4 \cdot 0 - 5 \cdot ( - 1))\)

\( = {\bf{i}}(10) - {\bf{j}}( - 8 - 1) + {\bf{k}}(5)\)

\( = (10,9,5)\)

Vậy vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((\alpha )\) là:

\(\vec n = (10,9,5)\)