Đề bài

Bằng tích phân, tính thể tích của khối chóp có diện tích đáy bằng S và chiều cao h.

Phương pháp giải

- Xác định hệ trục toạ độ.

- Tìm biểu thức diện tích của các mặt cắt ngang.

- Thiết lập tích phân tính thể tích.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Đặt hệ trục sao cho đáy của khối chóp nằm trên mặt phẳng \(z = 0\) và đỉnh khối chóp nằm trên trục \(z\), tại điểm \((0,0,h)\).

Mỗi mặt cắt ngang song song với đáy tại một độ cao \(z\) tạo thành một hình đồng dạng với đáy. Diện tích của mặt cắt tại độ cao \(z\), ký hiệu là \(S(z)\), tỷ lệ với bình phương của tỷ lệ giữa khoảng cách từ mặt cắt đó đến đỉnh và tổng chiều cao \(h\). Ta có:

\(S(z) = {S_0}{\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}\)

với \({S_0}\) là diện tích đáy.

Thể tích của khối chóp bằng tổng diện tích các mặt cắt ngang theo chiều cao \(z\) từ 0 đến \(h\). Công thức tính thể tích là:

\(V = \int_0^h S (z){\mkern 1mu} dz\)

Thay \(S(z) = {S_0}{\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}\) vào:

\(V = \int_0^h {{S_0}} {\left( {\frac{{h - z}}{h}} \right)^2}dz\)

Đặt \(u = \frac{{h - z}}{h}\), suy ra \(du =  - \frac{1}{h}dz\). Giới hạn tích phân thay đổi: khi \(z = 0\), \(u = 1\), và khi \(z = h\), \(u = 0\). Tích phân trở thành:

\(V = {S_0}h\int_0^1 {{u^2}} du\)

Tính tích phân:

\(\int_0^1 {{u^2}} {\mkern 1mu} du = \left[ {\frac{{{u^3}}}{3}} \right]_0^1 = \frac{1}{3}\)

Thể tích của khối chóp là:

\(V = {S_0}h \times \frac{1}{3} = \frac{1}{3}{S_0}h\).