Đề bài

Tính thể tích V của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 2\) và \(x = 4\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x{\mkern 1mu} (2 \le x \le 4)\) thì phần chung giữa mặt phẳng và vật thể là một hình vuông có độ dài cạnh bằng \(\sqrt {{x^2} - 2} \).

Phương pháp giải

Để tính thể tích của phần vật thể bị giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 2\) và \(x = 4\), ta sử dụng phương pháp tích phân thể tích theo mặt cắt ngang. Mặt cắt tại mỗi \(x\) là một hình vuông có cạnh phụ thuộc vào \(x\). Thể tích của vật thể sẽ bằng tích phân diện tích của các mặt cắt đó dọc theo trục \(x\).

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Diện tích mặt cắt tại vị trí \(x\) là diện tích hình vuông có cạnh \(\sqrt {{x^2} - 2} \).

Diện tích của mặt cắt này là:

\(A(x) = {\left( {\sqrt {{x^2} - 2} } \right)^2} = {x^2} - 2\)

Thể tích của vật thể là tích phân diện tích các mặt cắt theo \(x\) từ \(x = 2\) đến \(x = 4\):

\(V = \int_2^4 A (x){\mkern 1mu} dx = \int_2^4 {\left( {{x^2} - 2} \right)} {\mkern 1mu} dx\)

Chia tích phân thành hai phần:

\(V = \int_2^4 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx - \int_2^4 2 {\mkern 1mu} dx\)

Tính từng tích phân:

- Tích phân của \({x^2}\):

\(\int_2^4 {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^3}}}{3}} \right]_2^4 = \frac{{{4^3}}}{3} - \frac{{{2^3}}}{3} = \frac{{64}}{3} - \frac{8}{3} = \frac{{56}}{3}\)

- Tích phân của \(2\):

\(\int_2^4 2 {\mkern 1mu} dx = 2 \times (4 - 2) = 4\)

Vậy thể tích của phần vật thể là:

\(V = \frac{{56}}{3} - 4 = \frac{{56}}{3} - \frac{{12}}{3} = \frac{{44}}{3}\)