Đề bài

Một thùng rượu vang có dạng khối tròn xoay với bán kính mặt đáy và mặt ở trên là 33 cm, bán kính mặt cắt ở chính giữa thùng là 43 cm. Chiều cao của thùng rượu là 112 cm, bao gồm phần thân thùng rượu, hai đế đỡ thùng rượu (mỗi đế cao 3 cm) và thùng rượu được ghép từ các thanh gỗ sồi với độ dày mỗi thanh gỗ là 3 cm (Hình 4.25a và Hình 4.25b). Hình 4.25c mô phỏng phần bên trong thùng rượu có dạng một khối tròn xoay tạo thành khi quay một phần của parabo \((P):y = a{x^2} + bx + c\) quanh trục hoành.

a) Tìm \(a\), \(b\), \(c\).

b) Hỏi thùng rượu chứa được tối đa bao nhiêu lít rượu?

Phương pháp giải

a) Xác định phương trình parabola từ các điều kiện:

- \(y(0) = 40\)

- \(y(50) = 30\)

b) Tính thể tích khối tròn xoay từ công thức tích phân:

\(V = \pi \int_{ - 50}^{50} {{{\left( {f(x)} \right)}^2}} dx\)

Chuyển kết quả sang đơn vị lít.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Tìm \(a\), \(b\), \(c\):

- Phương trình parabola có dạng: \(y = a{x^2} + bx + c\).

- Dựa vào các điều kiện:

\(y(0) = 40\quad  \Rightarrow \quad c = 40\)

\(y(50) = 30\quad  \Rightarrow \quad a{(50)^2} + b(50) + 40 = 30\)

\(2500a + 50b =  - 10\quad (1)\)

\(y( - 50) = 30\quad  \Rightarrow \quad 2500a - 50b =  - 10\quad (2)\)

- Giải hệ phương trình (1) và (2) cho \(a\) và \(b\):

\(a = \frac{{ - 1}}{{250}},\quad b = 0\)

- Vậy phương trình của parabol là:

\(y = \frac{{ - 1}}{{250}}{x^2} + 40\)

b) Tính thể tích:

- Công thức thể tích:

\(V = 2\pi \int_0^{50} {{{\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)}^2}} dx\)

- Áp dụng hằng đẳng thức:

\({\left( { - \frac{1}{{250}}{x^2} + 40} \right)^2} = \frac{1}{{62500}}{x^4} - \frac{8}{{25}}{x^2} + 1600\)

- Tính các tích phân:

\(\int_0^{50} {{x^4}} {\mkern 1mu} dx = 62500000,\quad \int_0^{50} {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{125000}}{3},\quad \int_0^{50} 1 {\mkern 1mu} dx = 50\)

- Thể tích:

\(V = 2\pi \left( {\frac{1}{{62500}}.62500000 - \frac{8}{{25}} \cdot \frac{{125000}}{3} + 1600.50} \right) = \frac{{406000}}{3}{\mkern 1mu} \pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)

- Đổi sang lít:

\(V = \frac{{406}}{3}\pi {\mkern 1mu} ({\rm{lít}})\)

Vậy thùng chứa được khoảng \(425,16\) lít rượu.