Đề bài

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành và các đường thẳng \(x =  - 3,x = 2\).

Phương pháp giải

- Xác định hình phẳng cần tính diện tích.

- Phân tích dấu của hàm \(y = {x^3}\).

- Tìm biểu thức diện tích tổng quát.

- Tính các tích phân dựa trên biểu thức diện tích tổng quát.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = {x^3}\), trục hoành \(y = 0\), và hai đường thẳng \(x =  - 3\) và \(x = 2\). Tại các khoảng khác nhau, đồ thị có thể nằm bên trên hoặc bên dưới trục hoành, nên cần tính tích phân của giá trị tuyệt đối \(|{x^3}|\) để đảm bảo kết quả diện tích là dương.

- Từ \(x =  - 3\) đến \(x = 0\), \(y = {x^3}\) là âm.

- Từ \(x = 0\) đến \(x = 2\), \(y = {x^3}\) là dương.       

Diện tích hình phẳng được tính bằng cách lấy tích phân của \(|{x^3}|\) từ \(x =  - 3\) đến \(x = 2\)

\(S = \int_{ - 3}^0  -  {x^3}{\mkern 1mu} dx + \int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx\)

Trong khoảng \(x \in [ - 3,0]\), đổi dấu hàm số \({x^3}\) để đảm bảo diện tích là dương.

Tích phân của \( - {x^3}\) trong khoảng \([ - 3,0]\):

\(\int_{ - 3}^0  -  {x^3}{\mkern 1mu} dx =  - \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_{ - 3}^0 =  - \left( {\frac{{{0^4}}}{4} - \frac{{{{( - 3)}^4}}}{4}} \right) =  - \left( {0 - \frac{{81}}{4}} \right) = \frac{{81}}{4}\)

Tích phân của \({x^3}\) trong khoảng \(\left[ {0,{\rm{ }}2} \right]\):

\(\int_0^2 {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \left[ {\frac{{{x^4}}}{4}} \right]_0^2 = \frac{{{2^4}}}{4} - \frac{{{0^4}}}{4} = \frac{{16}}{4} = 4\)

Diện tích tổng cộng là tổng của hai kết quả tích phân:

\(S = \frac{{81}}{4} + 4 = \frac{{81}}{4} + \frac{{16}}{4} = \frac{{97}}{4}\)

Vậy, diện tích của hình phẳng là:

\(S = \frac{{97}}{4} = 24.25\).