Đề bài

Một cái cổng có kích thước như Hình 4.14a. Vòm cổng có hình dạng một parabol có đỉnh \(I(0;2)\) và đi qua điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) như Hình 4.14b. Tính diện tích hai cánh cửa cổng.

Phương pháp giải

- Xác định phương trình parabol.

- Tính diện tích một cánh cửa cổng bằng cách tính tích phân diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\).

- Nhân diện tích một cánh cửa với 2 để ra diện tích hai cánh cửa cổng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xác định phương trình parabol đỉnh \(I(0;2)\) có dạng:

\(y = a{x^2} + 2\)

Sử dụng điểm \(B\left( {\frac{5}{2};\frac{3}{2}} \right)\) để tìm hệ số \(a\):

\(\frac{3}{2} = a{\left( {\frac{5}{2}} \right)^2} + 2\)

Giải ra ta được:

\(a =  - \frac{2}{{25}}\)

Vậy phương trình của parabol là:

\(y =  - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2\)

Diện tích một cánh cửa là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol và trục hoành trong khoảng từ \(x = 0\) đến \(x = \frac{5}{2}\), được tính bằng tích phân:

\(S = 2\int_0^{\frac{5}{2}} {\left( { - \frac{2}{{25}}{x^2} + 2} \right)} dx\)

Tính tích phân:

\(S = 2\left[ {\left( { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{{x^3}}}{3} + 2x} \right)} \right]_0^{\frac{5}{2}}\)

\(S = 2\left[ { - \frac{2}{{25}} \cdot \frac{{125}}{{24}} + 2 \cdot \frac{5}{2}} \right]\)

\(S = 2\left( { - \frac{5}{{12}} + 5} \right) = 2\left( {\frac{{55}}{{12}}} \right) = \frac{{55}}{6}\)

Vậy, diện tích hai cánh cửa cổng là: \(9,167{{\rm{m}}^2}\).