a) Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên đoạn \([ - 1;5]\) và \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\]. Tính \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Cho \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 2}&{{\rm{khi }}x > - 1}\\{2x + 3}&{{\rm{khi }}x \le - 1}\end{array}} \right.\). Tính \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\).
a) Sử dụng tính chất của tích phân và giả thiết đã cho, ta tách tích phân \[\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx\] thành hai phần: \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\) và \( - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx\). Sau đó, chúng ta tính từng tích phân riêng lẻ và giải phương trình để tìm \(\int_{ - 1}^5 f (x)dx\).
b) Đối với bài này, ta chia tích phân \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx\) thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\). Tính tích phân riêng trên từng đoạn sau đó cộng kết quả lại.
a) Sử dụng giả thiết\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = 12\):
\(\int\limits_{ - 1}^5 {\left[ {2x - 3f(x)} \right]} dx = \int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx + - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
Tính \(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx\):
\(\int_{ - 1}^5 2 x{\mkern 1mu} dx = \left. {{x^2}} \right|_{ - 1}^5 = {5^2} - {( - 1)^2} = 25 - 1 = 24\)
Thay vào phương trình:
\(24 - 3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(3\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 12\)
\(\int_{ - 1}^5 f (x){\mkern 1mu} dx = 4\)
b) Chia tích phân thành hai phần dựa trên định nghĩa của hàm \(f(x)\):
\(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = \int_{ - 2}^{ - 1} f (x)dx + \int_{ - 1}^1 f (x)dx\)
Tính \(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx\):
\(\int_{ - 2}^{ - 1} {(2x + 3)} dx = \left. {({x^2} + 3x)} \right|_{ - 2}^{ - 1} = [{( - 1)^2} + 3( - 1)] - [{( - 2)^2} + 3( - 2)] = - 2 + 2 = 0\)
Tính \(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx\):
\(\int_{ - 1}^1 {({x^3} + 2)} dx = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} + 2x} \right)} \right|_{ - 1}^1 = \left[ {\frac{1}{4} + 2} \right] - \left[ {\frac{1}{4} - 2} \right] = 4\)
Vậy \(\int_{ - 2}^1 f (x)dx = 0 + 4 = 4\).
Danh sách bình luận