Đề bài

Cho hàm số \(f(x) = 2x\).

a) Tìm các hàm số \(F(x),G(x)\) là nguyên hàm của \(f(x)\) trên đoạn \([a;b].\)

b) So sánh \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\).

Phương pháp giải

a)

- Nguyên hàm của một hàm số \(f(x)\) là một hàm số \(F(x)\) sao cho \(F'(x) = f(x)\).

- Để tìm nguyên hàm của \(f(x)\), ta thực hiện việc tích phân \(f(x)\) theo \(x\).

b)

- Hai nguyên hàm của cùng một hàm số \(f(x)\) chỉ khác nhau một hằng số, nghĩa là nếu \(F(x)\) và \(G(x)\) đều là nguyên hàm của \(f(x)\), thì \(F(x) = G(x) + C\) với \(C\) là một hằng số. Từ đó, tính hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) để so sánh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

a) Xét hàm số \(f(x) = 2x\). Nguyên hàm của \(f(x)\) được tính bằng cách tích phân:

\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx\)

Áp dụng công thức tích phân:

\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)

Trong đó, \({C_1}\) là hằng số tích phân. Tương tự, ta có thể tìm một nguyên hàm khác của \(f(x)\):

\(G(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_2}\)

Trong đó, \({C_2}\) là một hằng số khác. Như vậy, hai nguyên hàm của \(f(x)\) có dạng:

\(F(x) = {x^2} + {C_1}\)

\(G(x) = {x^2} + {C_2}\)

b)

Ta có:

\(F(b) - F(a) = \left( {{x^2} + {C_1}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_1}) - ({a^2} + {C_1}) = {b^2} - {a^2}\)

Và:

\(G(b) - G(a) = \left( {{x^2} + {C_2}} \right)|_{x = a}^{x = b} = ({b^2} + {C_2}) - ({a^2} + {C_2}) = {b^2} - {a^2}\)

Từ đây, dễ thấy rằng:

\(F(b) - F(a) = G(b) - G(a) = {b^2} - {a^2}\)

Kết luận: Mặc dù \(F(x)\) và \(G(x)\) là hai hàm khác nhau, nhưng hiệu \(F(b) - F(a)\) và \(G(b) - G(a)\) luôn bằng nhau, và đều bằng \({b^2} - {a^2}\).