Đề bài

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = x\). Chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số \(2F(x)\).

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(2f(x)\) để chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = x\) là:

\(F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C\)

trong đó \(C\) là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\), tức là:

\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)

Tính đạo hàm của \(2F(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x\)

Mà \(2f(x) = 2x\). Do đó, ta có:

\(\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)\)

Vậy \(2F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(2f(x)\).