Đề bài

Tìm một nguyên hàm \(F(x)\) của hàm số \(f(x) = 2x\) và một nguyên hàm \(G(x)\) của hàm số \(g(x) = 3\). Chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của \(f(x) = 2x\) và \(g(x) = 3\).

- Tìm đạo hàm của hàm số \(F(x) + G(x)\).

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số \(f(x) + g(x)\) để chứng minh.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 2x\) là:

\(F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}\)

trong đó \({C_1}\) là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số \(g(x) = 3\) là:

\(G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}\)

trong đó \({C_2}\) là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x) = 2x + 3\), tức là:

\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)

Tính đạo hàm của \(F(x) + G(x)\):

\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3\)

Mà \(f(x) + g(x) = 2x + 3\).

Do đó, ta có:

\(\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)\)

Vậy \(F(x) + G(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x) + g(x)\).

Xem thêm : SGK Toán 12 - Cùng khám phá

Báo lỗi - Góp ý

BÌNH LUẬN

Danh sách bình luận

Đang tải bình luận...

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩm là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số \({M_R}\left( x \right) = R'\left( x \right)\). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi \({M_R}\left( x \right) = 300 - 0,1x\), ở đó x là số lượng chíp đã bán ra. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1 000 con chíp.

Xem lời giải >>

Bài 2 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {3{x^2} + 1} \right)dx} \);

b) \(\int {{{\left( {2x - 1} \right)}^2}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 3 :

Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^n}\left( {n \in \mathbb{N}*} \right)\).

a) Chứng minh rằng hàm số \(F\left( x \right) = \frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm \(\int {{x^n}dx} \).

b) Từ kết quả câu a, tìm \(\int {k{x^n}dx} \) (với k là hằng số thực khác 0).

Xem lời giải >>

Bài 4 :

Cho là hai hàm số liên tục trên K

a) Giả sử F(x), G(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x), g(x) trên K. Hỏi F(x) + G(x) có phải nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K hay không?

b) Giả sử H(x), F(x) lần lượt là nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x), f(x) trên K. Đặt G(x) = H(x) – F(x) trên K. Hỏi G(x) có phải là nguyên hàm của hàm số g(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về \(\int {[f(x) + g(x)]dx} \) và \(\int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 5 :

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là hằng số thực khác không

a) Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hỏi kF(x) có phải là nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K hay không?

b) Giả sử G(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K. Đặt G(x) = kH(x) trên K. Hỏi H(x) có phải là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K hay không?

c) Nêu nhận xét về \(\int {kf(x)dx} \) và \(k\int {f(x)dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 6 :

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(f(x) = 3{x^2} + x\)

b) \(f(x) = 9{x^2} - 2x + 7\)

c) \(f(x) = \int {(4x - 3)({x^2}} + 3)dx\)

Xem lời giải >>

Bài 7 :

Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số \(f(x) = 6{x^5} + 2x - 3\), biết F(-1) = -5

Xem lời giải >>

Bài 8 :

Một vườn ươm cây cảnh bán một cây sau 6 năm trồng và uốn tạo dáng. Tốc độ tăng trưởng trong suốt 6 năm được tính xấp xỉ bởi công thức \(h'(t) = 1,5t + 5\), trong đó h(t) (cm) là chiều cao của cây khi kết thúc t (năm). Cây con khi được trồng cao 12cm

a) Tìm công thức chỉ chiều cao của cây sau t năm

b) Khi được bán, cây cao bao nhiêu cm?

Xem lời giải >>

Bài 9 :

Tại một lễ hội dân gian, tốc độ thay đổi lượng khách tham dự được biểu diễn bằng hàm số

\(B'(t) = 20{t^3} - 300{t^2} + 1000t\)

trong đó t tính bằng giờ (\(0 \le t \le 15\)), B’(t) tính bằng khách/giờ

Sau một giờ, 500 người đã có mặt tại lễ hội

a) Viết công thức của hàm số B(t) biểu diễn số lượng khách tham dự lễ hội với \(0 \le t \le 15\)

b) Sau 3 giờ sẽ có bao nhiêu khách tham dự lễ hội?

c) Số lượng khách tham dự lễ hội lớn nhất là bao nhiêu?

d) Tại thời điểm nào thì tốc độ thay đổi lượng khách tham gia dự lễ hội là lớn nhất?

Xem lời giải >>

Bài 10 :

Đối với các dự án xây dựng, chi phí nhân công lao động được tính theo số ngày công. Gọi \(m(t)\) là số lượng công nhân được sử dụng ở ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Gọi \(M(t)\) là số ngày công được tính đến hết ngày thứ t (kể từ khi khởi công dự án). Trong kinh tế xây dựng, người ta đã biết rằng \(M'(t) = m(t)\)
Một công trình xây dựng dự kiến hoàn thành trong 400 ngày. Số lượng công nhân được sử dụng cho bởi hàm số
\(m(t) = 800 - 2t\)
trong đó t tính theo ngày (\(0 \le t \le 400\)), \(m(t)\) tính theo người. Đơn giá cho một ngày công lao động là 400 000 đồng. Tính chi phí nhân công lao động của công trình đó (cho đến lúc hoàn thành)

Xem lời giải >>

Bài 11 :

Một ô tô đang chạy với tốc độ \(19{\rm{ m/s}}\) thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ \(v\left( t \right) = 19 - 2t{\rm{ }}\left( {{\rm{m/s}}} \right)\). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 1 giây, 2 giây, 3 giây là bao nhiêu?

Xem lời giải >>

Bài 12 :

Tìm:

a) \(\int {\left( {3{x^3} + \frac{2}{{\sqrt[5]{{{x^3}}}}}} \right)dx} \) \(\left( {x > 0} \right)\)

b) \(\int {\left( {\frac{3}{{{{\cos }^2}x}} - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 13 :

Ta có \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\), \(\left( {{x^2}} \right)' = 2x\) và \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3} + {x^2}} \right)' = {x^2} + 2x\).

a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \), \(\int {2xdx} \) và \(\int {{x^2}dx} + \int {2xdx} \)

b) Tìm \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx} \).

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {\left( {{x^2} + 2x} \right)dx = \int {{x^2}dx} + \int {2xdx} } \).

Xem lời giải >>

Bài 14 :

Tìm:

a) \(\int {\left( { - \frac{{\cos x}}{4}} \right)dx} \)

b) \(\int {{2^{2x + 1}}dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 15 :

Ta có \(\left( {\frac{{{x^3}}}{3}} \right)' = {x^2}\) và \(\left( {{x^3}} \right)' = 3{x^2}\).

a) Tìm \(\int {{x^2}dx} \) và \(3\int {{x^2}dx} \).

b) Tìm \(\int {3{x^2}dx} \).

c) Từ các kết quả trên, giải thích tại sao \(\int {3{x^2}dx} = 3\int {{x^2}dx} \).

Xem lời giải >>

Bài 16 :

Trong mỗi ý a), b), c), d), chọn phương án: đúng (Đ) hoặc sai (S).

Cho các hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\) liên tục trên \(K\).

a) \(\int {\left[ {f\left( x \right).g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} .\int {g\left( x \right)dx} \).

b) \(\int {\left[ {f\left( x \right) + g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} + \int {g\left( x \right)dx} \).

c) \(\int {\left[ {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]dx} = \int {f\left( x \right)dx} - \int {g\left( x \right)dx} \).

d) \(\int {\frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}dx} = \frac{{\int {f\left( x \right)dx} }}{{\int {g\left( x \right)dx} }}\).

Xem lời giải >>

Bài 17 :

Chọn câu sai về tính chất của nguyên hàm.

A.

\(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} + \int {g(x)dx} \)
B.

\(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} - \int {g(x)dx} \)
C.

\(\int {\left[ {f(x).g(x)} \right]dx} = \int {f(x)dx} .\int {g(x)dx} \)
D.

\(\int {kf(x)dx} = k\int {f(x)dx} \)

Xem lời giải >>

Bài 18 :

Biết F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Khẳng định nào dưới đây đúng?

A.

$\int{4f(x)dx = 4F'(x) + C}$.
B.

${\int{4f(x)dx}} = 4F(x) + C$.
C.

$\int{4f(x)dx = 4f(x) + C}$.
D.

$\int{4f(x)dx = F'\left( {4x} \right) + C}$.

Xem lời giải >>

Bài 19 :

Cho hàm số f(x) liên tục trên ${\mathbb{R}}.$ Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A.

${\int{5f(x)\text{d}x}} = 5{\int{f(x)\text{d}x}}.$
B.

${\int{5f(x)\text{d}x}} = 5 + {\int{f(x)\text{d}x}}.$
C.

${\int{5f(x)\text{d}x}} = {\int{f(x)\text{d}x.}}$
D.

${\int{5f(x)\text{d}x}} = \dfrac{1}{5}{\int{f(x)\text{d}x.}}$

Xem lời giải >>